第七章图习题答案

第七章图习题答案基础知识：7.1在图7.23所示的各无向图中：(1)找出所有的简单环。(2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。(3)哪些图是自由树(或森林)?答:(1)所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)(a)1231(b)无(c)1231、2342、12341(d)无(2)连通图：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从1到2没有路径。具体连通分量为：(3)自由树(森林)：自由树是指没有确定根的树，无回路的连通图称为自由树：(a)不是自由树，因为有回路。(b)是自由森林，其两个连通分量为两棵自由树。(c)不是自由树。(d)是自由树。7.2在图7.24(下图)所示的有向图中：(1)该图是强连通的吗?若不是，则给出其强连通分量。(2)请给出所有的简单路径及有向环。(3)请给出每个顶点的度，入度和出度。(4)请给出其邻接表、邻接矩阵及逆邻接表。答：(1)该图是强连通的，所谓强连通是指有向图中任意顶点都存在到其他各顶点的路径。(2)简单路径是指在一条路径上只有起点和终点可以相同的路径：有v1v2、v2v3、v3v1、v1v4、v4v3、v1v2v3、v2v3v1、v3v1v2、v1v4v3、v4v3v1、v3v1v4、另包括所有有向环,有向环如下：v1v2v3v1、v1v4v3v1(这两个有向环可以任一顶点作为起点和终点)(3)每个顶点的度、入度和出度：D(v1)=3ID(v1)=1OD(v1)=2D(v2)=2ID(v2)=1OD(v2)=1D(v3)=3ID(v3)=2OD(v3)=1D(v4)=2ID(v4)=1OD(v4)=1(4)邻接表：(注意边表中邻接点域的值是顶点的序号，这里顶点的序号是顶点的下标值-1)vertexfirstedgenext┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│1│─→│3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘1│v2│─→│2│∧│├─┼─┤├─┼─┤2│v3│─→│0│∧│├─┼─┤├─┼─┤3│v4│─→│2│∧│└─┴─┘└─┴─┘逆邻接表：┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│2│∧│├─┼─┤├─┼─┤1│v2│─→│0│∧│├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐2│v3│─→│1│─→│3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘3│v4│─→│0│∧│└─┴─┘└─┴─┘邻接矩阵：01010010100000107.3假设图的顶点是A,B...，请根据下述的邻接矩阵画出相应的无向图或有向图。┌┓┌┓|01100||0111||00010||1011||00010||1101||10001||1110||01010|┕┙┕┙(a)(b)答:7.4假设一棵完全二叉树包括A,B,C...等七个结点，写出其邻接表和邻接矩阵。解：邻接表如下：┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐0│A│─→│1│─→│2│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐1│B│─→│0│─→│3│─→│4│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤2│C│─→│0│─→│5│─→│6│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘└─┴─┘3│D│─→│1│∧│├─┼─┤├─┼─┤4│E│─→│1│∧│├─┼─┤├─┼─┤5│F│─→│2│∧│├─┼─┤├─┼─┤6│G│─→│2│∧│└─┴─┘└─┴─┘邻接矩阵如下：01100001001100100001101000000100000001000000100007.5对n个顶点的无向图和有向图，采用邻接矩阵和邻接表表示时，如何判别下列有关问题?(1)图中有多少条边?(2)任意两个顶点i和j是否有边相连?(3)任意一个顶点的度是多少?答：对于n个顶点的无向图和有向图，用邻接矩阵表示时：(1)设m为矩阵中非零元素的个数无向图的边数=m/2有向图的边数=m(2)无论是有向图还是无向图，在矩阵中第i行,第j列的元素若为非零值，则该两顶点有边相连。(3)对于无向图，任一顶点i的度为第i行中非零元素的个数。对于有向图，任一顶点i的入度为第i列中非零元素的个数，出度为第i行中非零元素的个数，度为入度出度之和。当用邻接表表示时：(1)对于无向图，图中的边数=边表中结点总数的一半。对于有向图，图中的边数=边表中结点总数。(2)对于无向图，任意两顶点间是否有边相连，可看其中一个顶点的邻接表，若表中的adjvex域有另一顶点位置的结点，则表示有边相连。对于有向图，则表示有出边相连。(3)对于无向图，任意一个顶点的度则由该顶点的边表中结点的个数来决定。对于有向图，任意一个顶点的出度由该顶点的边表中结点的个数来决定，入度则需遍历各顶点的边表。(用逆邻接表可容易地得到其入度。)7.6n个顶点的连通图至少有几条边?强连通图呢?答：n个顶点的连通图至少有n-1条边，强连通图至少有2(n-1)条边。7.7DFS和BFS遍历各采用什么样的数据结构来暂存顶点?当要求连通图的生成树的高度最小，应采用何种遍历?答：DFS遍历采用栈来暂存顶点。BFS采用队列来暂存顶点。当要求连通图的生成树的高度最小时，应采用BFS遍历。7.8画出以顶点v1为初始源点遍历图7.25（下图）所示的有向图所得到的DFS和BFS生成森林。答：7.9按顺序输入顶点对：(1，2)，(1，6)，(2，6)，(1，4)，(6，4)，(1，3)，(3，4),(6，5)，(4，5)，(1,5),(3,5),根据第7.2.2节中算法CreatALGraph画出相应的邻接表。并写出在该邻接表上，从顶点4开始搜索所得的DFS和BFS序列，及DFS和BFS生成树。答：相应的邻接表如下：┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐1│1│─→│5│─→│3│─→│4│─→│6│─→│2│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘└─┴─┘└─┴─┘2│2│─→│6│─→│1│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐3│3│─→│5│─→│4│─→│1│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐4│4│─→│5│─→│3│─→│6│─→│1│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤5│5│─→│3│─→│1│─→│4│─→│6│∧│├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤├─┼─┤6│6│─→│5│─→│4│─→│2│─→│1│∧│└─┴─┘└─┴─┘└─┴─┘└─┴─┘└─┴─┘根据上面的邻接表画出的图见下图:从顶点4开始搜索所得的DFS序列是：453162从顶点4开始搜索所得的BFS序列是：453612相应的生成树见上图。7.10什么样的图其最小生成树是唯一的?用PRIM和Kruskal求最小生成树的时间各为多少?它们分别适合于哪类图?答：当候选轻边集中的轻边数始终等于1条时，其最小生成树是唯一的。用Prim和Kruskal求最小生成树的时间复杂度分别为O(n2)和O(elge),前者适合于稠密图，后者适合于稀疏图.7.11对图7.26（下图）所示的连通图，请分别用Prim和Kruskal算法构造其最小生成树。答：7.12对图7.27(下图)所示的有向图，试利用Dijkstra算法求出从源点1到其它各顶点的最短路径，并写出执行算法过程中扩充红点集的每次循环状态(见表7.2).答：循环状态表如下：循环红点集KD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]D[6]P[1]P[2]P[3]P[4]P[5]P[6]初始化{1}-02015∞∞∞-111-1-1-11{1,3}301915∞∞25-131-1-132{1,3,2}201915∞2925-131-1233{1,3,2,6}601915292925-1316234{1,3,2,6,4}401915292925-1316235{1,3,2,6,4,5}501915292925-1316236同上-同上同上从源点1到各点的路径如下所示：1到2：1321到3：131到4：13641到5：13251到6：136整个执行算法过程中的扩充红点集的每次循环状态见上表。7.13试写出图7.28(下图)所示有向图的所有拓扑序列，并指出就用7.6节给出的NonPreFirstTopSort算法求得的是哪个序列，设邻接表的边表结点中的邻接点序号是递增有序的。答：上图中所有拓扑序列如下：v0v1v5v2v3v6v4*v0v1v5v2v6v3v4v0v1v5v6v2v3v4v1v0v5v6v2v3v4v1v0v5v2v3v6v4v1v0v5v2v6v3v4v1v5v0v2v3v6v4v1v5v0v2v6v3v4v1v5v0v6v2v3v4v5v1v0v2v3v6v4v5v1v0v2v6v3v4v5v1v0v6v2v3v4v5v0v1v2v3v6v4v5v0v1v2v6v3v4v5v0v1v6v2v3v4v0v5v6v1v2v3v4v1v5v6v0v2v3v4v5v6v1v0v2v3v4v5v6v0v1v2v3v4v5v0v6v1v2v3v4v5v1v6v0v2v3v4用NonPreFirstTopSort算法求得的是v0v1v5v2v3v6v4也就是上面带*号的那个。7.14什么样的DAG的拓扑序列是唯一的?答：确定了排序的源点，DAG图中无前趋顶点只有一个且从该点到终点只有一条路径时，它的拓扑序列才是唯一的。7.15请以V0为源点，给出用DFS搜索图7.28(下图)得到的逆拓扑序列。答：逆拓扑序列是：V4V2V1V0V1V6V5算法设计：7.16试在无向图的邻接矩阵和邻接链表上实现如下算法：(1)往图中插入一个顶点(2)往图中插入一条边(3)删去图中某顶点(4)删去图中某条边解：(一)用邻接矩阵表示#defineMaxVertexNuml00//最大顶点数，应由用户定义typedefcharVertexType；//顶点类型应由用户定义typedefintEdgeType；//边上的权值类型应由用户定义typedefstruct{VextexTypevexs[MaxVertexNum]//顶点表EdeTypeedges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，可看作边表intn，e；//图中当前的顶点数和边数}MGragh；(1)往图中插入一个顶点voidAddVertexMGraph(MGraph*G,VertexTypex){//往无向图的邻接矩阵中插入顶点if(G-n=MaxVertexNum)Error(顶点数太多)；G-vexs[G-n]=x;//将新顶点输入顶点表G-n++；//顶点数加1}(2)往图中插入一条边voidAddedgeMGraph(MGraph*G,VertexTypex,VertexTypey){//往无向图的邻接矩阵中插入边(x,y)inti,j,k;i=-1;j=-1;for(k=0;kG-n;k++)//查找X，Y的编号{if(g-vexs[k]===x)i=k;if(g-vexs[k]==y)j=k;}if(i==-1||j==-1)Error(结点不存在);else{//插入边(x,y)g-vex[i][j]=1;g-vex[j][i]=1;G-e++;//边数加1}}(3)删去图中某顶点voidDeleteVertexMGraph(MGraph*G,VertexTypex){//无向图的邻接矩阵中删除顶点xinti,k,j;i=-1;for(k=0;kG-n;k++)//查找X的编号if(g-vexs[k]=x)i=k;if(i==-1)Error(结点不存在);else{//删除顶点以及边k=0;//求出与x结点相关联的边数kfor(j=0;jG-n;j++)if(g-vexs[i][j]==0)k++;G-e=G-e-k;//设置新的边数for(k=i+1;kG-n;k++)//在邻接矩阵中删除第i行for(j=0;jG-n;j++)g-vexs[k-1][j]=g-vexs[k][j];for(k=i+1;kG-n;k++