第七章第五节圆及直线与圆的位置关系

1第七章第五节圆及直线与圆的位置关系题组一圆的方程的求法1.(2009·重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A2．(2010·潍坊模拟)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－a)．∴r＝|a－(－a)|2＝|a－(－a)－4|2，解得a＝1，r＝2.∴C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：B3．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实数a的值为________．解析：依题意知直线x－y＋1＝0经过圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0的圆心(－a2－12，－a)，所以－a2－12＋a＋1＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝－1时，方程x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0不能表示圆，所以只能取a＝3.答案：3题组二直线与圆的位置关系4.直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a0)没有公共点，则a的取值范围是()A．(0，2－1)B．(2－1，2＋1)C．(－2－1，2＋1)D．(0，2＋1)2解析：圆心(0，a)，半径r＝a.∴|a－1|2a，∴0a2－1.答案：A5．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于()A．25B．23C．43D．45解析：由已知，C(2，－1)，∴点C到直线2x－y＝0的距离d＝55＝5，由题意知，(|AB|2)2＋d2＝9，∴|AB|＝4，∴S△ABC＝12×4×5＝25.21答案：A6．(2009·全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为F、E，则四边形OEMF为矩形，则有d21＋d22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，∴S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|＝24－d21·4－d22≤(4－d21)＋(4－d22)＝8－(d21＋d22)＝5，即四边形ABCD的面积的最大值为5.答案：57．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m的取值范围．解：(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，∴圆心为C(－a，a)，半径为r＝2a，设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d，3m＝4时，直线l：x－y＋4＝0，圆心C到直线l的距离d＝|－a－a＋4|2＝2|a－2|，t2＝(2a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0＜a≤4，∴当a＝3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为210.(2)圆心C到直线l的距离d＝|－a－a＋m|2＝22|2a－m|，∵直线l是圆C的切线，∴d＝r，即|m－2a|2＝2a，∴m＝2a±22a，∵直线l在圆C的下方，∴m＝2a－22a＝(2a－1)2－1，∵a∈(0,4]，∴m∈[－1,8－42]．题组三圆与圆的位置关系8.已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝3或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：当动圆圆心在定圆外时，动圆圆心(x，y)到(5，－7)的距离为5，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25，当动圆圆心在定圆内时，动圆圆心(x，y)到(5，－7)的距离为3，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.答案：D9．已知0＜r＜2＋1，则圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．内含C．相交D．相离解析：两圆连心线长|O1O2|＝2，r1＋r2＝r＋2，|r1－r2|＝|2－r|，因为0＜r＜2＋1，4所以2＜r＋2＜22＋1，－2＜r－2＜1，所以|2－r|＜|O1O2|＜r＋2，所以两圆相交．答案：C题组四与圆有关的最值问题10.(2010·唐山模拟)若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m≥0的右上方．∴1＋m≥0，|1＋m|2≥1.∴m的取值范围是m≥－1＋2.答案：m≥－1＋211．若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值为________．解析：yx＝y－0x－0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设yx＝k，则kx－y＝0.由|2k|1＋k2＝3，得k＝±3，结合图形可得(yx)max＝3，(yx)min＝－3.答案：312．已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，根据题意得：(1－a)2＋(－1－b)2＝r2(－1－a)2＋(1－b)2＝r2a＋b－2＝0，解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)由题知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝12|AM||PA|＋12|BM||PB|.5又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝25.