第七讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3.三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度)5.4(,,0,,1)(其它bxaabxf则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b).X的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF（2）指数分布设连续型随机变量X的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/其它xxfx其中0为常数,则称X服从参数为的指数分布.容易得到X的分布函数为)8.4(.,0,0,1)(/其它xexFx如X服从指数分布,则任给s,t0,有第二章随机变量及其分布§4连续型随机变量及其概率密度Oxf(x)123123=1/3=1=2P{Xs+t|Xs}=P{Xt}(4.9)事实上}.{eee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(xxfx其中,(0)为常数,则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(,2).显然f(x)0,下面来证明1d)(xxf令tx/)(,得到dxedxetx22)(2222121.1d21d21)11.4(π2dde,,dd,de22)(200222/)(22/2222222xexerrIuteItItxrutt于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:f(x)的图形:Oxf(x)=5=50.2660.3990.798xOf(x)1.510.5（1）.曲线关于x=对称.这表明对于任意h0有P{-hX}=P{X+h}.（2）.当x=时取到最大值.π21)(fx离越远,f(x)的值越小.这表明对于同样长度的区间,当区间离越远,X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。X的分布函数为)12.4(,deπ21)(222)(xttxF特别:当=0,=1时称X服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示,即有)14.4(.deπ21)()13.4(,21)(2/2/22xtxtxex易知(-x)=1-(x)(4.15)人们已经编制了(x)的函数表,可供查用(见附表2).引理若X~N(,2),则)1,0(~NXZ1F(x)0.5xO证明：的分布函数为XZ得令,,deπ21}{}{222)(uttxXPxXPxZPxt),(deπ21}{2/2xuxZPxu由此知Z~N(0,1).若X~N(,2),则它的分布函数F(x)可写成:)()16.4(}{}{)(xxXPxXPxF则对于任意区间(x1,x2],有)17.4(.}{122121xxxXxPxXxP例如,设X~N(1,4),查表得.3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{XP设X~N(,2),由(x)的函数表还能得到:P{X}=(1)-(-1)322368.26%95.44%99.74%=2(1)-1=68.26%P{2X2}=(2)-(-2)=95.44%P{3X3}=(3)-(-3)=99.74%我们看到,尽管正态变量的取值范围是(,),但它的值落在(3,3)内几乎是肯定的事.这就是人们所谈的3法则.例１将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以°C计)是一个随机变量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?解(1)所求概率为.0228.09772.01)2(1)2(5.090895.090}89{XPXP(2)按题意需求d满足.1635.81.327.25.080),327.2()327.2(199.015.0805.08015.0805.015.0805.0}80{99.0ddddddXPddXPXP故需亦即设X~N(0,1),若za满足条件P{Xza}=a,0a1,(4.18)则称点za为标准正态分布的上a分位点.由(x)的对称性知z1-a=-zaz常用的几个za值：1.2821.6451.9602.3272.5763.090z0.100.050.0250.010.0050.001（课间休息）随机变量的函数的分布例１设随机变量X具有以下的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律.0.40.10.30.2pk2101X解Y所有可能值为0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,0.20.70.1pk410Y例２设随机变量X具有概率密度.,0,40,8)(其它xxxfX求变量Y=2X+8的概率密度.解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).下面先来求FY(y)..2828}82{}{)(yFyXPyXPyYPyFXY将FY(y)关于y求导数,得Y=2X+8的概§5随机变量的函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如,在一些试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数.比如我们能测量圆轴的直径d,而关系的却是截面积A=pd2/4.这里,随机变量A是随机变量d的函数.下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.率密度为.,0,168,328,0,4280,2128812828)(其它其它yyyyyyfyfXY例３设随机变量X具有概率密度fX(x),x,求Y=X2的概率密度.解分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).由于Y=X20,故当y0时FY(y)=0.当y0时有).()(}{}{}{)(2yFyFyXyPyXPyYPyFXXY将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度为.0,0,0)],()([21)(yyyfyfyyfXXY例３结论的应用：设X~N(0,1),其概率密度为xxx,eπ21)(2/2则Y=X2的概率密度为.0,0,0,eπ21)(2/2/1yyyyfyY（5.1）此时称Y服从自由度为1的2分布.(特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。)定理设随机变量X具有概率密度fX(x),x,又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)0(或恒有g'(x)0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为）（其它2.5,0,)()]([)(yyhyhfyfXY其中=min(g(-),g()),=max(g(-),g()),h(y)是g(x)的反函数.证先设g'(x)0.此时g(x)在(-，)严格单调增加,它的反函数h(y)存在,且在(,)严格单调增加,可导.分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).因Y在(,)取值,故当y时,FY(y)=P{Yy}=0;当y时,FY(y)=P{Yy}=1.当y时,FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX[h(y)].将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度)3.5(.,0,),()]([)(其它yyhyhfyfXY对于g'(x)0的情况同样可以证明,有)4.5(.,0,)],()][([)(其它yyhyhfyfXY合并(5.3),(5.4)式，命题得证。当g'(x)0时,g(x)在(-，)严格单调递减,它的反函数h(y)存在,且在(,)严格单调递减,可导.分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).当y时,FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=1-FX[h(y)].特别声明：如果fX(x)在有限区间[a,b]以外等于零,只需假设在[a,b]上恒有)(xg0(或恒有)(xg0),上述定理依然成立,但此时有=min[g(a),g(b)],例４设随机变量X~N(2,).试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.证X的概率密度为.,eπ21)(222)(xxfxX现在Y=g(X)=aX+b,由这一式子解得.1)(,)(ayhabyyhx且有由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度为.,||1)(yabyfayfXYyeaeayfaabyabyY,21211)(2222)(2)]([2)(即即有Y=aX+b~N(a+b,(a)2).).1,0(~,/,/1,NXYba得在上例中取特别这就是上一节引理的结果.例５设电压V=Asin,其中A是一个已知的正常数，相角是一随机变量，且有2,2~U。试求电压V的概率密度.解现在v=g()=Asin，,1)(,arcsin)(,0cos)(2π,2π22vAvhAvvhAg且有反函数上恒有在=max[g(a),g(b)].211)]'[arcsin(xx又，的概率密度为.,0,2π2π,π1)(其它f由（5.2）式得V=Asin的概率密度为.,0,1π1)(22其它AvAvAv作业第二章习题第69页开始第1,6,12,14,16,19,23,28题