满秩矩阵及满秩矩阵的应用

江西理工大学满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151江西理工大学1目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用............21.1矩阵的秩..........................................21.2满秩矩阵..........................................21.3满秩矩阵的性质.....................................31.3.1行(列)矩阵的一些性质.............................41.4行(列)满秩矩阵在矩阵分解方面的应用...............6二、满秩矩阵在保密通信中的应用.........................82.1基于满秩矩阵的保密通信模型........................82.1.1加密保密通信模型.................................82.2.2满秩矩阵的应用..................................82.2密钥的生成.......................................102.2.1加密密钥的生成.................................102.2.2解密密钥的生成.................................102.3其它问题.........................................102.3.1明文矩阵的选择.................................102.3.2加密矩阵的选择.................................112.3.3算法优化......................................11江西理工大学2一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。定义1在mn矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。定义2A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。1.2满秩矩阵定义1设A为m×n矩阵，如果A中不为0的子式最高阶数为r即存在r阶子式不为0.而任何r+1阶子式皆为0，则称r为A的秩，记作（A）=r，或r(A)=r0当r(A)=min(m,n)时，称矩阵A为满秩矩阵。定义2设A为m×n矩阵，如果A中不为0的子式最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A),称r（A）=n的n阶方阵A为满秩矩阵，r（A）pn的n阶方阵A称为降秩矩阵。江西理工大学3例如3r(A),010010100321A由定义1，A是满秩矩阵，由定义2，A不是满秩矩阵，也不是降秩矩。2r(B),001021B由定义1，B是满秩矩阵，由定义2，B不是方阵也就不是满秩矩阵。由定义2可知，n阶方阵可逆的充要条件是A满秩（r（A）=n）。若按定义1，A为满秩，则A不一定是方阵。从以上两种定义不难看出，对满秩矩阵的定义和由定义所引出的结论是非常混乱的。因此，对满秩矩阵的定义亟需改进，以求统一形式，统一的认识就显得非常重要了。事实上，关于满秩矩阵的定义，根据实际需要，我们给出如下定义是较为适当的。定义：一个m×n矩阵如果它的秩等于m，则称它是行满秩矩阵；如果它的秩等于n，则称它是列满秩矩阵，若m=n且该矩阵是行满秩矩阵（也是列满秩矩阵），那么这个矩阵就称为满秩矩阵（或称满秩方阵），否则就称为降秩矩阵。由此，前面的矩阵A是行满秩矩阵，而B是列满秩矩阵。又如下3r(C),043312321C,是满秩矩阵；3r(D),00101012-001-00202D是降秩矩阵。显然满秩矩阵与非奇异矩阵或可逆矩阵是等价的，因而，由定义所引出的结论也就统一了。1.3满秩矩阵的性质首先,关于行（列）满秩矩阵有如下事实：江西理工大学4（1）若A是数域F上的m×n列满秩矩阵,则n≤m,即列数总不超过行数,故是“高”矩阵；若A是数域F上的m×n行满秩矩阵,则n≤m,也即行数总不超过列数,故是“偏”矩阵.(2)行满秩矩阵A的转置AT是列满秩矩阵；列满秩矩阵A的转置AT是行满秩矩阵。因此，关于行满秩矩阵的一些结论,相应地,对于列满秩矩阵也同样成立。1.3.1行(列)矩阵的一些性质引理1设A是数域F上的m×n矩阵,则（1）A是列满秩矩阵的充分必要条件为存在m阶可逆矩阵P,使0nEPA(2)A是行满秩矩阵的充分必要条件为存在n阶可逆矩阵Q,使A=(Em0)Q。证明:(1)充分性，设0nEPA,其中P是m阶可逆矩阵,则nEnrEPrArn)0()0()(,可见A是列满秩矩阵。必要性，因为r(A)=n,所以存在m阶可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1,使00E00n-m111111nnnEPEQPQPQEPA,其中n-m11EQPP.(2)利用(1)的结果取转置,即可证得行满秩的结论。定理1设B1,B2是数域F上的m×n列满秩矩阵,则存在数域F上的m阶的可逆矩阵P,使得B2=PB1。证明:由于B1是m×n列满秩矩阵,根据引理1,存在m阶可逆矩阵P1,使得011nEBP,同理存在m阶可逆矩阵P2,使得022nEBP,从而P1B1=P2B2,于是,B1=(P1-1P2)B2,,令P=P1-1P2,则P是m阶可逆矩阵,使得B2=PB1。对于行满秩矩阵,类似地,我们可以得到:定理1′设C1,C2是数域F上的m×n行满秩矩阵,则存在数域F上的n阶可逆矩阵Q,使得C2=C1Q。由矩阵秩的定义,容易得到引理2设A是数域F上的m×n矩阵,B是数域F上的n×m矩阵,若AB=Em,则B是列满秩矩阵;若BA=En,则B是行满秩矩阵。江西理工大学5定理2设A是数域F上的m×n矩阵,则(1)A是列满秩矩阵的充分必要条件为A-A=En；(2)A是行满秩矩阵的充分必要条件为AA-=Em.证明:(1)由引理2,充分性显然,下面证明必要性.若A是列满秩阵,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使0nEPAQ,A-具有形式A-=Q(En,H)P,从而A-A=Q(En,H)PP-0nEQ-=QEnQ-1=En.类似地,可证明(2).定理3设A是m阶实对称正定矩阵,B为m×n实矩阵,则B是列满秩矩阵的充分必要条件为BTAB正定.证明:充分性,已知BTAB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量X≠0,有XT(BTAB)X0,即(BX)TA(BX)0,由A正定知BX≠0,因此BX=0只有零解,故r(B)=n,即B是列满秩矩阵.必要性,因为(BTAB)T=BTAB,所以BTAB为实对称矩阵.由于B是列满秩矩阵,则r(B)=n,因此BX=0只有零解,从而对任意的实n维列向量X≠0,有BX≠0,于是XT(BTAB)X0,故BTAB正定.定理3′设A为m×n实矩阵,且mn,则A为行满秩矩阵的充分必要条件为AAT正定.证明方法与定理3类似,这里不再累述.引理3[4]设A是复数域上的m×n列满秩矩阵,则A可以唯一地分解为A=QR,其中Q是复数域上的m×n列满秩矩阵,且QHQ=En,R是复数域上的n阶具正对角元素的上三角矩阵.引理4[5]设A是实数域上的m×n列满秩矩阵,则ATA可逆,即r(ATA)=n.推论1设A是实数域上的m×n列满秩矩阵,则对于任意m维列向量β,线性方程组ATAX=ATβ有惟一解R-1QTβ,这里Q,R同引理3.证明:由引理3,A=QR,且QTQ=En,从而,ATA(R-1QTβ)=(QR)T(QR)(R-1QTβ)=RTQTβ=ATβ,因此,R-1QTβ是线性方程组ATAX=ATβ的一个解.由引理4,ATA可逆,从而|ATA|≠0,于是线性方程组ATAX=ATβ有惟一解,即R-1QTβ.推论2设A是实数域上的m×n列满秩矩阵,则R-1QTβ是线性方程组的AX=β惟一的最小二乘解,这里Q,R同引理3.定理4若A为实数域上的m×n列满秩矩阵,则行列式|ATA|0.证明:设矩阵A=(aij)m×n,由Binet-Canchy公式,江西理工大学6又因为A为实数列满秩矩阵,r(A)=n,所以至少有一个n阶子式不等于0,因此|ATA|0成立.1.4行(列)满秩矩阵在矩阵分解方面的应用行(列)满秩矩阵在矩阵满秩分解、QR分解等方面有重要应用.事实上,这两类矩阵在一些特殊矩阵分解上也有其应用.引理5设A是秩为r的n阶方阵,则(1)存在可逆矩阵P,使01BAPP,其中B是r×n行满秩矩阵;(2)存在可逆矩阵Q,使0CAQQT,其中C是r×n行满秩矩阵;(3)存在n阶可逆矩阵R,使R-1AR=(D,0),其中D是n×r列满秩矩阵证明:(1)存在可逆矩阵P和Q,使000rEPA,则QPEAPPr0001,令CBQP,其中B是r×n行满秩矩阵,于是,CBAPP1.(2)存在初等矩阵S1,S2⋯,Si,使SiSi-1⋯S2S101CA,其中C1是r×n行满秩矩阵,令QT=SiSi-1⋯S2S1,即01CAQT,则Q=ST1ST2⋯STi-1STi，于是001CQCAQQT,其中C=C1Q，Q是可逆矩阵，故r(C)=r(C1)=r,从而C也是r×n行满秩矩阵.（3）可用（1）相仿的方法证明.江西理工大学7定理5n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A有分解式A=PTP,其中P是m×n列满秩实矩阵.证明:充分性,由于r(P)=n,因此线性方程组PX=0只有零解.从而对于任意n维非零实向量α,有Pα≠0,于是,αTAα=αTPTPα=(Pα)T(Pα)0,所以A正定.必要性.因为A正定,所以存在n阶可逆矩阵C,使得A=CTC.令nmCP0,则P是m×n列满秩实矩阵,且ACCCCPPTTT00.类似地,我们可以得到:定理6n阶实对称矩阵A半正定的充分必要条件是A有分解式A=PTP,其中P是m×n行满秩实矩阵.定理7设A是秩为r的n阶方阵,则A是幂等矩阵的充分必要条件是A有分解式A=BC,其中B是n×r列满秩矩阵,C是r×n行满秩矩阵,且CB=Er.证明:充分性显然,只需证必要性.由A2=A可知,存在n阶可逆矩阵P,使000001rrrEEEAPP,于是100PEEPArr,令0rEPB，C=(Er,0)P-1,则A=BC,B是n×r列满秩矩阵,C是r