环境流体力学第二章分子扩散.

第二章分子扩散静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的著名实验证实。分子运动称为布朗运动除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一原因外，它还存在于一切流动的水体中。第一节费克定律一、费克定律费克（Fick）扩散（分子扩散）：由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散第三节费克定律费克定律：1855年德国生理学家费克（Fick）提出静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。cQx式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量；C是扩散物质的浓度。:x方向的浓度梯度。D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]一般约为10-6~10-5cm2·s-1。x用等号一维费克扩散示意图对一维扩散，费克定律可表示为：费克定律第一定律cQDx第三节费克定律cx公式中的负号三维的费克定律:哈密顿算子说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散费克定律第二定律QDcijkxyz一滴红墨水在玻璃杯中的扩散分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温度和压力有关。第三节费克定律cQDx某些物质在水中的分子扩散系数（cm2·s-1，水温为20℃）物质扩散系数D物质扩散系数D氧1.80×10-5醋酸0.88×10-5二氧化碳1.50×10-5甲醇1.28×10-5一氧化氮1.51×10-5乙醇1.00×10-5氨1.76×10-5酚0.84×10-5氯1.22×10-5甘汕0.72×10-5氢5.13×10-5尿素1.06×10-5氮1.64×10-5葡萄糖0.60×10-5氯化氢2.64×10-5蔗糖0.45×10-5硫化氢1.80×10-5食盐1.35×10-5硫酸1.73×10-5氢氧化钠1.51×10-5D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。第三节费克定律单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t)从(x+△x)面出去的通量为:设c(x,t)是时刻t位于x处上扩散质（溶质）的浓度。在该控制体积内扩散质对时间的变化率为：第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）(,)cxtxtt(,)cxtxt一维为例第四节分子扩散方程一维输移的控制体：两个具有单位面积的平行面与x轴垂直变化量：(,)(,)QxtQxtxx22ccDtx0Qcxt根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:Fick定律：(,)(,)(,)[(,)]QxtcxtQxtQxtxxxt如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。二阶线性抛物型偏微分方程cQDx第四节分子扩散方程cQt2cDct推广到三维：故有用直角坐标表示222222()ccccDtxyz时变项分子扩散项扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现QDc第四节分子扩散方程Fick定律：222222()ccccDtxyz在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。在扩散特性各向异性的液体中222222xyzccccDDDtxyz第三节一维扩散方程的基本解&扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。&解的形式：解析解、数值解。&污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。&污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）。&瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。&连续源又分为恒定和非恒定源。&污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方程。第五节一维扩散方程的基本解第三节一维扩散方程的基本解第五节一维扩散方程的基本解•集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这是扩散方程的最基本的解。•是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条件下的解。0x-x第三节一维扩散方程的基本解第五节一维扩散方程的基本解•瞬时单位平面源的扩散•瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。•1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位•2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液•3、染液薄片充满了整个断面•4、染料只沿长度方向扩散令染液投入点为坐标原点0x-x瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：c(x,0)=M(x)狄拉克（Dirac）函数当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间（2）边界条件：c(,t)=0,c(,t)/x=022xcDtc（1）初始条件：一维分子扩散方程：1.定解条件0()00xxx第五节一维扩散方程的基本解M(x)表示质量M集中于微小容积内。相对概念。例如把一小桶颜色水倾注到大河里，可以认为起始浓度集中于微小体积内。物理含义：2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。第五节一维扩散方程的基本解式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的解较为简明;M是全部污染物的质量，量纲是[M]假设有函数：F(c,M,D,x,t)=0方程线性利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得：从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数(,)0MxFcDtDt(,)()44MxcxtfDtDt第五节一维扩散方程的基本解(,)=()44cxtxfMDtDt一维扩散中，浓度的量纲[ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成正比。是一个合适的特征长度Dt进一步令，有:。边界条件由原来的c(,t)=0,c(,t)/x=0f(∞)=0，df(∞)/dh0以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:第五节一维扩散方程的基本解设变量22ccDtx4xDth22220dfdffddhhh(,)()4McxtfDth则有()2dffdhhh0ddh进一步令，有:()2dffdhhh0ddh即θ=常数k1,因此有：12dffkdhh20dffdhh02fkeh它的通解为：20dffdhh02fkeh确定待定函数f20ddffddhhh（）122lnlnlndfdffAhhh222222221-[()]241=-44-=2+2+=0d(+2)=0dcMfftDtcMfDxtDtccdfdfDftxdddffdhhhhhhhhhh2--00-0==exp(-)()=44=1uMeduxxMMkdkDtDtk可得积分常数为2(,)exp()44MxcxtDtDt为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有对上式分别通过求t→0、x→0和t→0（x≠0）的极限，可得到c=∞和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x＜0情形。,推出k0=1第五节一维扩散方程的基本解cdxM瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻t沿x轴是正态分布，随时间t的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽，分布曲线趋于平坦。第五节一维扩散方程的基本解2(,)exp()44MxcxtDtDt22(,)1exp()222(2)cxtxMDtDt浓度分布符合正态分布（即高斯分布）污染源点和坐标原点重合的情况1、浓度对距离的各阶矩定义零阶矩0(,)iiiMcxtdxcx一阶矩1(,)iiiiMxcxtdxxcx二阶矩222(,)iiiMxcxtdxxcx对原点的任意p阶矩(,)pppiiiiMxcxtdxxcx对瞬时点源来说，零阶矩M0=全部扩散质的质量，对任意时刻M0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。各式的右端可供当具有实验资料时，计算浓度各阶矩之用。第四节浓度分布的各阶矩第六节浓度分布的各阶矩2、浓度分布的统计特征值（1）浓度分布的距离均值（数学期望）表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。10iiiixiiixcxMMcx（2）浓度分布的距离方差222222210000()(,)(2)(,)2xxxxxxxcxtdxxxcxtdxMMMMMM222220()iiiiiiiixxiiiiiixcxxcxMMcxcx表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，分布曲线愈平坦。第六节浓度分布的各阶矩质量中心坐标x对于正态分布曲线（标准）有：22100,0,xxMMM将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：22222011(,)exp()244xMxxcxtdxxdxDtMMDtDt当已求得，可用上式反求D。由于D是常数，将上式对t求导，有：2xdtdDx221称为矩法公式，可以差分代替微分。对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：0xccx和时，0),(0),(2txxtxc和或dtdDx221仍存在上式表明方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。2x第六节浓度分布的各阶矩曲线的分布区间[-2,2]占总面积的95%源与坐标原点不重合源与坐标原点重合[2,2]证明此结论（3）三阶中心矩表示曲线偏斜度：a=0左右对称;正态分布a0左右不对称，长尾伸向正轴方向；a＜0，长尾伸向负轴方向。330MMaa=0a0a＜0图a对浓度分布图形的影响第六节浓度分布的各阶矩偏态系数（4）四阶中心矩440MMa表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。第六节浓度分布的各阶矩2、对静止和动水环境中射流的一些基本原理、基本规律的研究现状。源与坐标原点重合时，浓度曲线的分布区间[-2,2]范围内，分布曲线与x轴所围面积占总面积的95%。1、证明此结论作业第五节一维扩散方程的若干定解条件下的解设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：c(x,0)=Mδ(x-ξ)边界条件：c(±∞,t)=0第七节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解2(,)exp[]44MxcxtDtDt（）有解：如果示综物质M不是集中到一处，而是非均匀地分布在一定范围上同时瞬时投放，这就是瞬时投放源，这种情况可考虑为若干个瞬时集中源的迭加，按迭加原理求解。现将初始条件改为：c(x,0)=f(x),-∞x∞其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上