1.4.1-生活中的优化问题举例

生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.复习：如何用导数来求函数的最值？一般地，若函数y=f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则求f(x)的最值的步骤是：（1）求y=f(x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？2()=0.8π-20=2()，f'rrrr令得r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p解：∵每个瓶的容积为:)(343mlrp∴每瓶饮料的利润：238.0342.0)(rrrfypp32=0.8(-)3rπr)60(r解：设每瓶饮料的利润为y，则238.0342.0)(rrrfypp32=0.8(-)3rπr)60(rr(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗∵f(r)在(2，6]上只有一个极值点∴由上表可知，f(2)=-1.07p为利润的最小值-1.07p例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则238.0342.0)(rrrfypp32=0.8(-)3rπr)60(r∵当r∈(0，2)时，()(0)0frf而f(6)=28.8p，故f(6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案问题情景二：汽油使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的速度v(单位:km/h)之间有一定的关系，汽车的消耗量w是汽车速度v的函数.根据实际生活，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大?（2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率越高（即越省油）。若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程wG=s如何计算每千米路程的汽油消耗量？例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位:L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位:km）之间，有如图的函数关系g=f(v)，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，这里w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程∵w=gt，s=vtwG=sgtgvtvwG=sP(v，g)的几何意义是什么？gv如图所示，表示经过原点与曲线上的点P(v，g)的直线的斜率kgvmin'(90)kf所以由右图可知，当直线OP为曲线的切线时，即斜率k取最小值时，汽油使用效率最高0.07例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：若已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为升;（II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需行驶小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为:.(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？3138(0120).12800080yxxx17.5100x3213100180015()(8).(0120),1280008012804hxxxxxxx3213100180015()(8).(0120),1280008012804hxxxxxxx例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：若已知甲、乙两地相距100千米。(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？3138(0120).12800080yxxx解：设当汽车以xkm/h的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为h(x)L，则313100()(8).12800080hxxxx2180015(0120)12804xxx332280080'()[phone]xxhxxxx令'()0,hx得80.x当(0,80)x时，'()0,()hxhx是减函数；当(80,120]x时，'()0,()hxhx是增函数。当80x时，()hx取到极小值(80)11.25.h因为()hx在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为225000200()40xcx元若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则2500020040cxyxx25000220025040xx25000100040xxx当且仅当，即时等号成立∴每天应生产1000件产品练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为225000200()40xcx元变题：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则2500020040cxyxx2250001'40yx'001000'01000yxyx由，可求得由，可求得练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为225000200()40xcx元变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？∴函数在(0，1000)上是减函数800xy当时，取最小值故每天应生产800件产品[注]对于型如)0(abxbaxy的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。基本不等式法：“一正、二定、三相等、四最值”；导数法：一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。小结：在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。作业：课本P40A组第2题7题例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则238.0342.0)(rrrfypp32=0.8(-)3rπr)60(r∵当r∈(0，2)时，()0p322()=0.8(-)=0.8-133rrfrπrr而f(6)=28.8p，故f(6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大，每天应生产多少件产品？练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为225000200()40xcx元例3、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：若甲、乙两地相距100km，则当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？3138(0120).12800080yxxx解：设当汽车以xkm/h的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为h(x)L，则313100()(8).12800080hxxxx2180015(0120)12804xxx例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则238.0342.0)(rrrfypp32=0.8(-)3rπr)60(r2()=0.8π-20=2()，f'rrrr令得r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？2()=0.8π-2()f'rrr当r∈(0，2)时，，f(r)是减函数当r∈(2，6]时，，f(r)是增函数()0f'r()0f'r例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位:L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位:km）之间，有如图的函数关系g=f(v)，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？问题2：汽油的使用效率与g、v有什么关系？wG=s(w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程)gtgvtvwG=s