第09讲一元一次方程的应用w

第八讲一元一次方程的应用（2）知识方法扫描行程问题是应用问题中常见而又重要的一类，它大体可以分为以下几类：追及相遇问题（包括时钟问题），顺流逆流问题，环行问题等，其基本关系式是：速度×时间=路程。在解答行程问题时，灵活地应用比例关系（即时间一定，路程与速度成正比例；路程一定，时间与速度成反比例；速度一定，路程与时间成正比例）常可得到简洁的解法。经典例题解析例1．（2002年“希望杯”全国数学邀请赛试题试题）甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑6s钟后，一只小狗从甲处以每秒6m的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6m的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇．那么小狗共跑了米.解设甲、乙同学跑了xs，则小狗跑了（x-6）s．2(x-6)+3(x-6)=400-2×6-3×6解得x=80小狗跑了x-6=80-6=74(s),小狗共跑了74×6=444(m).例2．（1999年北京市第14届“迎春杯”数学竞赛试题）一辆汽车在上坡路上行驶的速度是40千米每小时,在下坡路上行驶的速度是50千米每小时,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆车从甲地开往乙地,先是用了13的时间走上坡路,然后用了13的时间走下坡路,最后用了13的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,那么甲、乙两地的距离为千米.解：设这辆汽车从甲地开往乙地共用3t时间,依题意得40455013,5045404tttt10.8+1.25=2,4ttt0.050.25,t∴t=5(小时).∴甲、乙两地距离40×5+45×5+50×5＝200+225+250+675(千米).例3(1991年北京市第6届“迎春杯”初中数学竞赛试题)公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔724分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于分钟。分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过724分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/秒，小宏速度为b米/秒，根据题意得)(724)(6baaxbaax两式相减得12a=72b即a=6b代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例4（1995年天津市初中数学竞赛试题）一条船航行于A，B两码头之间，顺流行驶40分钟还差4千米到达；逆流行驶需113小时到达。已知逆流速度每小时12千米，求船在静水中的速度。解：设顺流速度为每小时x千米，依题意得方程21411233x，x=18，故船在静水中的速度为（18+12）÷2=15（千米/时）评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例5（第6届“缙云杯”初中9O级数学邀请赛试题）一游泳者沿河逆流而上，于A处将携带物品（可漂浮）遗失，在继续前游30分钟后发现物品遗失，即刻返回顺游，距A处3千米时在B处将物品追回，问此河水流速度是多少？解：设水流速度为v千米／小时，游泳者的速度为x千米／小时，则游泳者在开始返回时，物品离A处v21千米，游泳者从开始返回到游到B处游了)213(x千米，而物品漂浮了)213(v千米，于是vvvxvx213)(213所以2.221213321213vxvvxvxvv，xxv3，3v所以河水流速是3千米／小时．另解：把小河水流看作不动的，则物品是静止的，游泳者的速度就是不变的，这样，游泳者遗失物品时到发现物品时游的距离就等于发现物品时列追回物品时游的距离，从而游这两个距离所用时间相等，都是21小时，所以物品就漂浮了l小时，由题设，物品l小时漂浮了3千米，从而水流速度为3千米／小时，例6（第4届华杯赛复试试题）甲乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度提高了1/5,已知甲乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米。问：这条椭圆形跑道长多少米？解：设跑道长s米，甲第一圈的速度是每分钟v米，则乙第一圈速度为(2/3)v,甲第二圈速度为43v,乙第二圈速度为214(1)355vv。两人第一次相遇时，甲跑33235ss，乙跑25s，乙跑完第一圈时甲跑完一圈多12423333svvs，第二次相遇处甲距出发点2413445835sss注意甲跑第二圈的方向和第一圈相反，所以两次相遇的地点相差（如图）1908153ss从而s=400(米)例7（2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题）上午9点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）（A）9时30分（B）10时5分（C）10时5511分（D）9时83211分分析与解时钟问题实际是行程问题中的追及问题，分针每分钟转6°，而时针每分钟转21°。设9时x分时针与分针成直角，从9点钟开始，分针转过了6x度，而时针转过了21x°后又成直角，这时分钟比时针多转180°，所以可列方程；1690902xx，解得x=83211，所以选（D）。例8（第4届“华罗庚金杯”数学邀请赛初试试题）甲，乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米。两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地。甲走全程的平均速度是______千米/小时。解.设甲步行x千米，骑车y千米，则乙骑车x千米，步行y千米。依题意，两人所用的时间相同，即515153yxyx,去分母，并整理得y=2x因此甲的平均速度是7451773)153()(xxyxyx千米/小时.原版赛题传真同步训练一．选择题1．（2003年第1届创新杯数学邀请赛初一试题）在下列时间段中，时钟的时针和分针会出现重合的是（）（A）5：20~5：26（B）5：26~5：27（C）5：27~5：28（D）5：28~5：291．C.设在5时x分两针重合，依题意得6x-12=150,解得x=32711。2．（第6届“五羊杯”初中数学竞赛题）在环形跑道上甲、乙两人练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1min20s，乙每30s与甲相遇一次，则乙跑一圈要()．(A)30s(B)45s(C)48s(D)1min2．C因甲跑一圈要1min20s，即34min,那么甲每分钟跑43圈；又乙30s与甲相遇一次，那么每分钟甲、乙相遇两次，即每分钟两人跑的路程合起来等于2圈，所以乙每分钟跑45圈，于是得乙跑一圈要54min，即48s．3．（1991年长沙市初中数学奥林匹克试题）某人上山和下山的路程是s，上山速度是v1，下山速度是v2，则此人上山和下山的平均速度是()．(A)221vv(B)21vvs(C)21vsvss(D)212vsvss3．D平均速度是上山和下山的路程之和来除以上山和下山的时间之和，即：.71vsvsss4.（第4届“五羊杯”初中数学竞赛题）在l000m圆形自行车赛车场上，三人同时出发进行自行车竞赛，已知甲比乙快3%，乙比丙慢3%，乙骑车跑完6圈时成绩恰为10min，则此时申、丙相距()m，()在前．（精确到0.01）(A)约5.57，甲(B)约5.57，丙(C)360，甲(D)0，甲、丙并驾齐驱4．B设丙的速度为xm/min,则乙速为x(1-3%)m/min，甲速为x(1-3%)(1+3%)m/min.依题意，得：10[x(1-3%)]=6×1000解之：9760000x于是，可分别求出甲、丙10min走的路程：.10)97549760000(109760000])1003(1[2甲s.109760000丙s10)97549760000(109760000甲丙ss)975497600009760000(1057.5975405.（1990--1991年武汉等五城市数学联赛试题）一条轮船从A港到B港顺水航行需6h，从B港到A港逆水航行需8h，若在静水条件下，从A港到B港需()．(A)7h(B)766h(C)217h(D)216h5．B不妨设从A港到B港的路程为s，轮船在静水航行的速度为v静，顺水速度为v顺，逆水速度为v逆，水流速度为v0，静静静静逆顺vsvsvvvvsvvs22)()(2200,766748243428622ssssssssvvs逆顺)(766hvs静即：轮船在静水条件下，从A港到B港需)(766h．二填空题6.（2000年第15届江苏省初中数学竞赛试题）汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员揿一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是_____米6．640。72千米/小时=20米/秒。设距离为x米，依题意得方程340×4-x=20×4+x,解得x=640。7.(2004年北京市《迎春杯》数学科普活动日初一试题)甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑(假定三人均为匀速直线运动)．如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有米．7.1955设甲跑完全程需时t1，则由题意，有V乙t1=95，V丙t2=90.两式相除，得1819丙乙VV再设乙跑完全程需时t2，即V乙t2=100，则191800191822tVtV乙丙此时丙离终点为195519100191800100（米）8．(2002年湖北省初中数学竞赛试题)与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向南行进，行人的速度是每小时3.6km，骑车人的速度是每小时10。8km，如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒，则这列火车的身长是m。8．286设火车速度为每秒x米，则有22（x-1）=26(x-3),解得x=14.,故火车的身长是22×（14-1）=286（米）。9．(1997年太原市初中数学竞赛试题)火车长为400m，通过隧道（从火车头进入隧道至车尾离开隧道）需100分钟，若每分钟速度增加0.1km,则只需9分钟，隧道长为。9．8600m设隧道长为x米，火车原速度为v米/分。则有x+400=10v=9(v+100).解得x=8600.10.（1999年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）钟表在12点钟时三针重合，经过x秒钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x=10秒针每分钟走360º，分针每分钟走6º，时针每分钟走0.5º.又显然1x2,于是有方程6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x,解得x=14401427.三解答题11．(2002年山东省初中数学竞赛试题)某乡镇小学的师生到县城参观，规定汽车从县城出发，于上午7时到达学校接参观的师生去县城．由于汽车在赴校的途中发生了障碍，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了30min．如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？11.假定汽车排除障碍花了xmin.如图，设点A为县城所在地，点C为学校所在地，点B为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的30min里，有10min是因晚出发造成的，还有20min是由于从C到B步行