第1讲一元二次方程

第1讲一元二次方程一、一元二次方程1、定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：20(0)axbxca。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、注意：一元二次方程的三个要点：①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。3、例题演练例1：方程：①13122xx②05222yxyx③0172x④022y中一元二次是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和③例2：当a_______时，关于x的方程0422xxax是一元二次方程例3：方程8)2(2)1(3xxx化成一般形式是__________________4、课堂作业1、判断下列方程是否为一元二次方程？①3x+2=5y-3②x2=4③3x2-5x=0④x2-4=(x+2)2⑤ax2+bx+c=02、选择题（1）在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个（2）方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6（3）px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p0C．p≠0D．p为任意实数3、填空题（1）方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．（2）一元二次方程的一般形式是__________．（3）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．4、综合提高题（1）a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？（2）关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？二、一元二次方程的解法1、配方法:（1）用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmnn的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。注意：当0n时，方程无解（2）例题演练例1：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-12=0例2：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．BCAQ分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．（3）课堂作业一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1B．-1C．1或9D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221xxx的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2+6y+2z+13=0，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？2、公式法（1）一元二次方程20(0)axbxca根的判别式：24bac0方程有两个不相等的实根:242bbacxa（240bac）()fx的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点（2）例题演练某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2m2=1m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)913224x1=，x2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-13．（3）课堂作业一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=362B．x=362C．x=3232D．x=32322．方程2x2+43x+62=0的根是（）．A．x1=2，x2=3B．x1=6，x2=2C．x1=22，x2=2D．x1=x2=-63．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．3、因式分解法（详见第2讲）（1）一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。三、一元二次方程的根与系数的关系1、韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：1x+2x＝ba；1x2x＝ca2、例题演练（1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：1x+2x＝ba；1x2x＝ca；x=242bbaca例1：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）3例2：已知关于x的方程x2+kx-6＝0的一个根是2，另一个根为___，k为____。例3：当m＝2时，使关于x的方程x2-4x+m＝0有两个不相等的非零实数根1x，2x，此时相应代数式1221xxxx＝________。例4：已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足111ab，则m的值是（）A．3或-1B．3C．1D．-3或13、课堂作业（1）已知1x，2x是关于x的方程012)2(222mxmx的两个实根，且满足02221xx，求m的值；（2）已知方程0122mxx的两实根是21xx和，方程02nmxx的两实根是71x和72x，求m和n的值。（3）已知关于x的方程04)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m的值.（4）解方程0242xx，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。（5）m为何值时，关于x的一元二次方程0)5()1(22mmxmx的两个根互为倒数；（6）在解方程02qpxx时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q,解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么？（7）已知关于x的方程01)1(2bxax的两根之比是3:2，判别式的值为1，求方程的根．四、实际问题与一元二次方程1、列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。④“解”就是求出说列方程的解；⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。2、例题演练例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．（1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．解：（1）连结DF，则DF⊥BC∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．∴AC=2AB=2002海里，∠C=45°∴CD=12AC=1002海里DF=CF，2DF=CD∴DF=CF=22CD=22×1002=100（海里）所以，小岛D和小岛F相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC－（AB+BE）－CF=（300－2x）海里在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300－2x）2整理，得3x2－1200x+100000=0解这个方程，得：x1=200－10063≈118.4x2=200+10063（不合题意，舍去）所以，相