第26讲进位制问题

1第26讲进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12120l201101101211213进制55l64135479进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为nk进制，则从右往左数每k个数一组化为nk进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．101000011012进制24158进制(10100001101)2=(2415)8．23．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod7后，3+2c≡0所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2．于是，35a=15+80×2；a=5．于是(abc)6=(552)6=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且xyz=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及b．【分析与解】我们注意2()19871987bxyzbxbyzxyz①②①-②得：(2b-1)x+(b-1)y=1987-25．则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962，即(b-1)[(b+1)x+y]=1962．所以，1962是(b-1)的倍数．1962=2×9×109：当b-1=9时，b=10，显然不满足；当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，所以，545,(929911bxxxyyyz=19不满足),......则显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足．3于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?【分析与解】于是，我们知道n=4，所以为4进制，则A+B+C+D=3+1+2+0=6．6.一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数.【分析与解】我们现把1024转化为二进制：(1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...05个1个或以上912111...1个=9120111...1个则，10**********个位置可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1．于是为2268101010101010CCCCC=10910987109876510987654312123412345612345678＋＋＋＋=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.47．计算：20033333...31个26的余数．【分析与解】20033333...31个=2003331000...01个=20033222...2个226=(222)3所以，20033333...31个÷26=20033222...2个2÷(222)3(222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8．所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】我们设(3ab)10=(4cd)9=(5ef)8；我们知道(4cd)9在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef)8在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab)10在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9.一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天12348163264…前若干天的和…2102004211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天11248163264…5前若干天的和1248163264128…改写为2进制110100100010000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天．