河海大学工程力学第九章.

第9章弯曲内力第二篇材料力学工程力学弯曲内力剪力方程和弯矩方程剪力图与弯矩图剪力、弯矩与荷载集度之间关系用叠加法画弯矩图第9章弯曲内力概述9.1概述第9章弯曲内力杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常均称为梁一、弯曲的概念概述简化为简支梁杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常均称为梁一、弯曲的概念作用在梁上的载荷和约束力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线，这种弯曲称为平面弯曲。也有的教材称为对称弯曲。梁变形后的曲线与外力在同一平面内(纵向对称面内)。纵向对称面纵向对称轴1FAFBF2F概述弯曲变形杆件受力特点：外力（集中力或分布力）作用垂直于杆轴线；外力偶作用在杆轴线所在的纵向对称面。Fq(x)Me概述工程上有许多杆件，在外力作用下，其主要变形为弯曲。简化为简支梁概述简化为外伸梁概述简化为悬臂梁9.2弯曲内力弯曲内力弯曲内力分量的正负号规则弯曲内力同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。剪力FQ(FQy或FQz)一使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。FQFQ杆件内力分量的正负号规则弯曲内力FQFQ杆件内力分量的正负号规则弯曲内力指定截面上内力分量的确定弯曲内力应用截面法可以确定杆件任意指定横截面上的内力分量用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分考察其中任意一部分的平衡由平衡方程求得横截面的内力分量指定横截面上内力分量的确定弯曲内力C，＝，＝，＝000CyxMFF指定横截面上内力分量的确定FPll例题9-1ABCD一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。MO=2FPl试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。弯曲内力指定横截面上内力分量的确定-例题FPFPllABCDMO=2FPl解：1.应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。2.应用截面法确定C截面上的内力分量用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。MA＝0AClFPMA＝0弯曲内力指定横截面上内力分量的确定-例题FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：CAFPlMA＝0假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：00QP＝－，＝CyFFF00P＝－＋，＝lFMMMACCPQFFC＝lFMCP＝所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。弯曲内力指定横截面上内力分量的确定-例题FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：3.应用截面法确定D截面上的内力分量AFPMA＝0llMO=2FPlD用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。弯曲内力指定横截面上内力分量的确定-例题FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：因为D截面无限接近B截面，所以式中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD00PQ＝－，＝FFFDy020P＝＋＝ΔlFMMMMOADD0ΔPQFFD＝0＝DM弯曲内力指定横截面上内力分量的确定-例题解：4.讨论本例中所选择的研究对象都是C、D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、D截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更简单些。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl弯曲内力AB剪力图与弯矩图第9章弯曲内力剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程和弯矩方程。为了建立剪力方程和弯矩方程，首先建立Oxy坐标系，其中O坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。确定了分段之后，在每一段中任意取一横截面，这一横截面的坐标为x，从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向，最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程M(x)。剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的内力分量的方法和过程是相似的。剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。qllBAC例题9-2剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：1．确定约束力llBACqFRBFRAqlFFBA＝＝RR根据平衡条件不难求得：Oyx解：2．确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述。llBACqFRBFRA3．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA解：4．确定剪力方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向。0yF0M＝R02AxMxFxqx＝RQ0AFqxFx－＝剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图OyxllBACqFRBFRA解：得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。lxqxqlqxFxFA20RQ－＝＝lxqxqlxxM2022－＝xFQ(x)M(x)FRA剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图#剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图例题9-3悬臂梁在B、C二处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全长为2l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABCMO=2FPl剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：1．确定控制面和分段通过考察截开截面的右边部分平衡来建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。2．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。FPllABMO=2FPlCOyx剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：3．建立剪力方程和弯矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：3．建立剪力方程和弯矩方程FQ(x)M(x)Q1P00yFFxF＝＝1P1020MMxMFlx＝－＋－＝对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根据平衡方程x1剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图解：3．建立剪力方程和弯矩方程Q1P00yFFxF＝＝1P1020MMxMFlx＝－＋－＝得到AC段的剪力方程与弯矩方程：lxFxF1P1Q0＝lxxFxlFlFxlFMxM11P1PP1P10222＝－＝－＝FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CB剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图FQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和弯矩方程Q2P00yFFxF＝＝2P2020MMxFlx＝－－＝得到CB段的剪力方程与弯矩方程：FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2BQ2P22FxFlxl＝2P2220MxFlxxl＝－上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。根据平衡方程x2剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程－例题综合剪力方程和弯矩方程Q1P10FxFxl＝1P110MxFxxl＝2P2222MxFlxlxl＝－Q2P22FxFlxl＝#剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画出的图形——剪力图和弯矩图剪力图与弯矩图以平行于梁轴线的坐标轴为横坐标，坐标轴上的点表示横截面所在位置；以垂直于梁轴线为纵坐标，表示横截面上的剪力或弯矩——剪力图和弯矩图规定：￭正剪力画在横坐标之上，负剪力则画在之下；这样，剪力图的纵坐标是向上的。￭正弯矩画在受拉一侧，下缘受拉为正，下缘受压为负。这样，弯矩图的纵坐标是向下的。剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程－例题qllBAClxqxqlqxFxFA20RQ－＝＝lxqxqlxxM2022－＝M图BACQ图Oyxqlql0.5ql2剪力方程与弯矩方程－例题剪力图与弯矩图FPllABMO=2FPlCQ1P10FxFxl＝1P110MxFxxl＝Q2P22FxFlxl＝2P2222MxFlxlxl＝－FPlFPlFPOyxQ图M图弯曲内力教材：9-1(a)(c)(e)(f)9-2(a)(b)(e)(f)(g)9-3(a)(b)(c)(e)(f)(i)作业本：9-1，9-2载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图作用在梁上的平面载荷(不包含纵向力)，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是：先在FQ－x和M－x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图根据相距dx的两个横截面截处微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：qxMFxMqxF＝＝＝22QQdddddd看以下证明载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系剪力图与弯矩图将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求