等差数列前n项和公式的几个性质和与应用

等差数列前n项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容，其中心是通项公式与前n项和公式。透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。现就等差数列前n项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。性质1：设等差数列na的前n项和公式和为nS，公差为d，*.Nnm则①dmnmSnSmN21②mndSSSSnmnmSnmnmnm性质2：设等差数列na的前n项和公式和为nS，*..Nknm若knm..成等差数列，则kSnSmSknm,,成等差数列性质3：设等差数列na的前n项和公式和为nS，*....Nnmqp若nmqp，则qpSSnmSSqpnm性质4：设等差数列na的前n项和公式和为kS①当*2Nkkn时，12kkkaakS②当*12Nkkn时，121212kkakS例1：（人教版高中数学第一册上123P7题）如果等差数列na的前4项和是2，前9项和是6，求其前n项和公式。解：由性质1得：dnSnSdSSn421449214944921将9,294SS代入2,1得：nnSn30433072例2：（97年全国高考文科卷）设nS是等差数列na的前n项和，已知331S和441S的等比中项为551S，331S和441S的等差中项为1，求等差数列na的通项公式na。解：由性质1和题意知，ddSSSSddSS2145214523421342134453434)3()2()1(解得：dSdSdS431541144113543又3453425SSS，即ddd4114114312，∴5120dd或当0d时，33S，∴*,1Nnan当512d时，52435124113S又daS223313，即524512331a，∴41a故*,512153251214Nnnnan例3：(人教版高中数学第一册上122P)一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。解：由性质1知：ddSSSSS2347214763273725254725721又244S，代入上式：2d，则241242344114adaS解有31a，∴1211ndnaan，Nn例4：首项为25的等差数列的前9项和等于前17项和，问此数列的前多少项和最大，并求此最大项。解：由性质1得：0179179179179SS由nS的对称性知13S最大，又917SS即dd289259216172517，∴2d故所求最大项为169221213251313S例5：（人教版高中数学第一册上10123P题）已知数列na是等差数列，nS是其前n项和，设Nk，kkkkkSSSSS232,,成等差数列吗？解：由kkk3,2,成等差数列，据性质1可知：kSkSkSkkk3,2,32成等差数列。则kSkSkSkkk32232，∴：kkkSSS3233即kSkSSkSkkS2322，故，kkkkkSSSSS232,,成等差数列。例6：（人教版高中数学第一册上142P第4题）两个等差数列nnba,。且3272121nnbbbaaann，求55ba。解：设nnba,的前n项和分别为TnSn,，由性质4有：59599,9bTaS∴1265392979955TSba例7：已知等差数列na的前n项的和为nS，若9535aa，求59SS解：由性质4：35595,9aSaS∴19559355959aaSS