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一、简要叙述下列概念(每小题3分,共计10小题,总计30分):1.内积空间(参考答案P40)2.Banach空间(参考答案P94)3.开集(参考答案P100)4.集合A在X中稠密(参考答案P48)5.自列紧集(参考答案P108)6.紧集(参考答案P112)7.赋范线性空间(参考答案P93)8.X可分(参考答案P48)9.集合A为闭集(参考答案P47)10.有界线性算子(参考答案P57)二、证明如下命题(共计7小题,总计70分):1.(本小题10分)压缩映象原理:设E是Banach空间X的非空子集,存在正数1使得映象XXT:满足Xyxyxyx,,则映象T在X中存在唯一的不动点.(参考答案P192)2.(本小题10分)设M是Hilbert空间H的闭线性子空间,Hh,且Mf0是满足hxMhdfhMzinf),(0的唯一元素,那么,Mfh0。(参考答案P52)3.(本小题10分)设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若kerf是闭集,那么f是H上有界(常数0C,使得Hx,xCTx)。(参考答案P56-57)4.(本小题10分)设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若f在某点Hx0连续,那么f在H上连续。(参考答案P56)5.(本小题10分)设H是数域F上的Hilbert空间。f是H到F上的线性泛函。若f是连续的,那么kerf必是闭集。(参考答案P56-57)6.(本小题10分)证明:FHf:是Hilbert空间H到数域F上的有界线性泛函,则存在唯一的点Hx0,使得对任意的Hx,有0,)(xxxf。(参考答案P59)7.(本小题10分)证明:设X是Banach空间,存在正数210,使得映象XXT:满足XyxyTyxTxTyTx,),(,则映象T在X中存在唯一的不动点.(参考答案张石生:《不动点理论及其应用》,P11-12)
本文标题:研究生应用泛函试题单(答案)
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