水平面内圆周运动的临界问题和竖直平面内圆周运动的“轻绳轻杆”模型

热点突破二：水平面内圆周运动的临界问题1.热点透析2.典例剖析3.规律方法4.跟踪训练第四章曲线运动万有引力与航天1.热点透析1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mv2/r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。水平面内圆周运动的临界极值问题1.与摩擦力有关的临界问题2.与弹力有关的临界问题题型分类2．与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。2.典例剖析【例2】如图示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？审题设疑(1)转台的角速度较小时，谁提供向心力？(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？(3)细线上何时开始出现张力？(4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表达式？(5)两物块何时开始滑动？转解析【备选】如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上O、A两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为m的小球上,OA＝OB＝AB,现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形OAB始终在竖直平面内,若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态,则下列说法正确的是()A．OB绳的拉力范围为0～33mgB．OB绳的拉力范围为33mg～233mgC．AB绳的拉力范围为33mg～233mgD．AB绳的拉力范围为0～233mg审题设疑1.转速为零时,OA、AB拉力大小各怎样？2.随转速增大,OA、AB绳拉力大小如何变化？3.当转速增大到某值时,两绳拉力会有何突变？转解析3.规律方法解答水平面内匀速圆周运动临界问题的一般思路反思总结1．判断临界状态：认真审题，找出临界状态．2．确定临界条件：分析该状态下物体的受力特点.3．选择物理规律：临界状态是一个“分水岭”，“岭”的两边连接着物理过程的不同阶段，各阶段物体的运动形式以及遵循的物理规律往往不同．4．结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。【变式训练2】(多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ,20)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg相对圆盘静止时,a、b两物块角速度相等审题设疑1.a、b两物体所受最大静摩擦力大小如何？2.随转速缓慢增加，a、b两物体所需向心力的大小如何？3.随加速转动，哪个物体所需向心力首先达到能提供的最大静摩擦力？怎样求此时的角速度？4.跟踪训练【备用变式】对于上题，若木块转动的半径保持r=0.5m,则转盘转动的角速度范围是多少？答案4rad/s≤ω≤26rad/s【跟踪训练】如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍(μ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？(g取10m/s2)审题导析1.当木块离圆心的距离很小时,随圆盘转动,木块会向圆心滑动？2.当木块恰好不向里滑动时,木块受力情况如何?遵从什么规律？3.若使木块半径再增大,木块所受各力情况又会如何变化？4.当木块半径达到最大值时，它所受各力情况怎样？如果再使木块半径增大一点，随圆盘的转动，木块将如何运动？转解析扩展变式物理建模：竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1.模型特点2.典例剖析3.规律方法4.跟踪训练5.真题演练第四章曲线运动万有引力与航天1.模型特点模型特点在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．临界问题分析物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下：物理建模“竖直平面内圆周运动的绳、杆”模型轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件讨论分析(1)当v＝0时,FN＝mg,沿半径背离圆心(2)当0＜v＜gr时,－FN＋mg＝mv2r,FN背离圆心,随v的增大而减小(3)当v＝gr时，FN＝0(4)当v＞gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大v临＝gr小球恰能做圆周运动，v临＝0(1)过最高点时，v≥gr，绳、轨道对球产生弹力FN＋mg＝mv2r(2)不能过最高点v＜gr，在到达最高点前球已脱离圆轨道2.典例剖析【例3】如图示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为92gL，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是()A．小球不能到达P点B．小球到达P点时的速度大于gLC．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力解析要使小球恰能到达P点，由机械能守恒定律有：mv2/2＝mg·2L，可知它在圆周最低点必须具有的速度为v≥2gL，而92gL＞2gL，所以小球能到达P点；由机械能守恒定律可知小球到达P点的速度为12gL；由于12gL＜gL，则小球在P点受到轻杆向上的弹力。答案C解析/显隐【备选】如图示,2012年8月7日伦敦奥运会体操男子单杆决赛,荷兰选手宗德兰德荣获冠军.若他的质量为60kg,做“双臂大回环”,用双手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴做圆周运动.此过程中,运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10m/s2)()A．600NB．2400NC．3000ND．3600N审题设疑1、此运动员的运动属于什么类型圆周运动？2、运动员的运动过程遵从什么物理规律?3、如何选择状态及过程列方程解答问题？竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律审题关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动自己试一试！建模选规律求解列方程属于竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律FN－mg＝mv2R牛顿第二定律方程mg·2R＝12mv2机械能守恒方程转解析3.规律方法竖直面内圆周运动的求解思路方法提炼(1)定模型：判断轻绳模型或者轻杆模型(2)确定临界点：轻绳模型能否通过最高点的临界点轻杆模型FN表现为支持力还是拉力的临界点．(3)研究状态：通常只涉及最高点和最低点的运动情况．(4)受力分析：在最高点或最低点进行受力分析，由牛顿第二定律列方程，F合＝F向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.【变式训练3】在稳定轨道上的空间站中,物体处于完全失重状态,空间站中有如图示的装置,半径分别为r和R(R＞r)的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上,轨道之间有一条水平轨道CD相通,宇航员让一小球以一定的速度先滑上甲轨道,通过粗糙的CD段,又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，那么下列说法中正确的是()A.小球在CD间由于摩擦力而做减速运动B.小球经过甲轨道最高点时比经过乙轨道最高点时速度大C.如果减小小球的初速度,小球有可能不能到达乙轨道的最高点D.小球经过甲轨道最高点时对轨道的压力大于经过乙轨道最高点时对轨道的压力审题导析1.小球处于完全失重状态.2.注意小球在整体运动过程中遵从哪些物理规律.4.跟踪训练【训练1】在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径R，则管状模型转动的最低角速度ω为()．A.gRB.g2RC.2gRD．2gR解析最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度ω对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mg＝mω2R，得：ω＝gR，A正确．答案A解析/显隐此条件隐含了什么物理特征？【训练2】(多选)如图所示，M为固定在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为半径是R的光滑圆弧形轨道，a为轨道的最高点，de面水平且有一定长度．今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静止释放，让其自由下落到d处切入轨道内运动，不计空气阻力，则()．A．只要h大于R，释放后小球就能通过a点B．只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可能落回轨道内，又可能落到de面上C．无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内D．调节h的大小，可以使小球飞出de面之外(即e的右侧)转解析审题导析1.理解小球通过a点的意义.2.分析小球整体运动过程中遵从的规律.【训练3】(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看做质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2。则()A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N转解析5.真题演练【真题】(2011·安徽理综)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.如图(a)示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.v20gB.v20sin2αgC.v20cos2αgD.v20cos2αgsinα解析：本题考查了斜抛运动和圆周运动的有关知识.由题意可知，物体在最高点P的速度是v0cosα，重力加速度为g，所以若看成是圆周运动，则向心加速度为g，所以g＝（v0cosα）2ρ，ρ＝v20cos2αg，C正确.答案：C解析显隐