江苏师范大学高等数学I第二学期练习册

1目录第七章微分方程一、本章内容小结……………………………………………………3二、典型习题……………………………………………………7第八章空间解析几何与向量代数一、本章内容小结……………………………………………………11二、典型习题……………………………………………………15第九章多元函数微分法及应用一、本章内容小结……………………………………………………19二、典型习题……………………………………………………23第十章重积分一、本章内容小结……………………………………………………28二、典型习题……………………………………………………32第十一章曲线积分与曲面积分一、本章内容小结……………………………………………………36二、典型习题……………………………………………………40第十二章无穷级数一、本章内容小结……………………………………………………45二、典型习题……………………………………………………512第七章微分方程一、本章内容小结（一）、微分方程的基本概念1、凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。2、微分方程的解：设函数)(xy在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上0)](,),(),(,[)(xxxxFn那么函数)(xy就叫做微分方程（1）在区间I上的解。（二）、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程(1)、如果一个一阶微分方程能写成dxxfdyyg)()(（3）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。(2)、可分离变量的微分方程的解法：第一步：分离变量，把方程变为dxxfdyyg)()(第二步：方程两端同时积分dxxfdyyg)()(设)(yG和)(xF分别是)(yg和)(xf的原函数，于是有)(yGCxF)(（5）（5）式叫做方程dxxfdyyg)()(的隐式通解。2、齐次方程（1）、如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的函数),(yxf可写成xy的函数，即xyyxf),(则称这方程为齐次方程。（2）、齐次方程的解法：3在xyyxf),(中，引进新的函数xyu，则有dxduxudxdyuxy,，从而)(udxduxu即uudxdux)(分离变量，得xdxuudu)(求出积分后，再以xy代替u便得所给齐次方程的通解。3、一阶线性微分方程（1）、定义形如)()(xQyxPdxdy（1）的方程叫做一阶线性微分方程。如果0)(xQ，则称为齐次线性方程。如果0)(xQ，则称为非齐次线性方程。（2）、齐次线性微分方程的解法0)(yxPdxdy（2）dxxPydy)(两边积分得：1)(||lnCdxxPy或dxxPCey)(（3）、非齐次线性微分方程的解法（常数变易法）常数变易法1）由方程（2）得dxxPCey)(2）令dxxPexCy)()(代入方程（1）得4)()()(xQexCdxxp3）求出)(xc得方程（1）的通解。注意：第一步中的积分一定要积出来，能化简的一定要化简；第二步不必具体代入。（2）非齐次线性微分方程的通解dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(（二）、高阶微分方程1、可降阶的高阶微分方程（1）、)()(xfyn型的微分方程解法：n次积分。（2）、),(yxfy型的微分方程设py，那么pdxdpy，从而方程),(yxfy就变为),(pxfp这是一个关于x、p的一阶微分方程。设其通解为),(1Cxp但是dxdyp，因此又得到一个微分方程),(1Cxdxdy对它进行积分，便得到方程),(yxfy的通解21),(CdxCxy（3）、),(yyfy型的微分方程令py利用复合函数的求导法则把y化为对y的导数，即dydppdxdydydpdxdpy这样方程),(yyfy就成为5),(pyfdydpp这是一个关于变量y、p的一阶微分方程。设它的通解为),(1Cypy分离变量并积分，便得到方程),(yyfy的通解21),(CxCydy2、二阶常系数齐次线性微分方程形如0qyypy（1）其中p、q是常数，则称（1）为二阶常系数齐次线性微分方程。02qprr（3）这个方程叫做方程（1）的特征方程。①02qprr有两个不相等的实根21,rr时0qyypy的通解：xrxreCeCy2121②02qprr有两个相等的实根r时0qyypy的通解：rxrxxeCeCy21③02qprr有一对共轭复根i)0(时0qyypy的通解：xixieCeCy)(2)(1或)sincos(21xCxCeyx3、二阶常系数非齐次线性微分方程：)(xfqyypy（1）、xmexPxf)()(如果xmexPxf)()(，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）具有形如xmkexQxy)(（4）6的特解，其中)(xQm是与)(xPm同次的多项式，而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。（2）、]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx型如果]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx，则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为xkexy]sin)(cos)([)2()1(xxRxxRmm其中)()1(xRm、)()2(xRm是m次多项式，nlm,max，而k按i不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。二、典型习题1、求微分方程2242)1(xxyyx的通解。2、求微分方程21xxyy的通解。3、求微分方程xxxydxdysin的通解。4、已知连续函数)(xf满足xxedttfxf302,)3()(求)(xf。75、求微分方程0dyydx的通解。6、求微分方程21xxyy满足00xy的特解。7、设可导函数)(x满足：1sin)(2cos)(0xtdttxxx，求)(x。8、求微分方程xyyy22的通解.9、微分方程22xyyxe的特解*y的形式是。10、求微分方程02yyy的通解。811、已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解为]2sin2cos[21xCxCex，则该方程为.12、求微分方程xeyy的通解.13、微分方程0yyx，满足2,011xxyy的特解为y。14、微分方程xxeyyy2265的待定特解应设为。15、求微分方程xyy33的通解．916、求微分方程044yyy的通解。17、求方程0222sdtdsdtsd满足初始条件40ts、20ts的特解。18、求微分方程052yyy的通解。19、求微分方程xexyyy265的通解.10第八章空间解析几何与向量代数一、本章内容小结（一）、向量代数1、向量的线性运算1）向量的加法的运算律（1）交换律：abba（2）结合律：)()(cbacba2）向量加法的坐标计算公式},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa3）向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作a，规定a是一个向量，它的模||||||aa，它的方向当0时与a相同，当0时与a相反。当0时，0||a，即a为零向量，这时它的方向可以是任意的。向量与数的乘积符合下列运算规律：⑴结合律aaa)()()(⑵分配律aaa)(baba)(坐标计算公式：},,{zyxaaaa定理1设向量0a，那末，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使ab。或ba||zzyyxxababab。以两点),,(111zyxA和),,(222zyxB为端点的有向线段AB的分点M的坐标121xxx，121yyy，121zzz2、向量的模、方向角、投影向量),,(zyxr，则222zyxr。11向量的方向余弦),,()cos,cos,(cosrrrzyx投影性质性质1、cosPraaju性质2、2121PrPr)(Prajajaaj性质3、)(PrajuajuPr3、数量积向量积*混合积（1）两向量的数量积01、定义：cos||||baba当0a时，bjabaaPr||当0b时，ajbbabPr||由向量的数量积的定义，立得（1）2aaa（2）0baba02、数量积的运算规律：（1）交换律abba（2）分配律cbcacba)(（3）关于数乘的结合律)()()(bababa03、两个向量的数量积的坐标表示式bazzyyxxbababa04、两向量夹角余弦的坐标表示式222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa（2）两向量的向量积01、定义：设向量c是由两个向量a、b按下列方式定出：c的模sin||||||bac，其中为a与b间的夹角；c的方向垂直于a、b所决定的平面（即c即垂直于a又垂直于b），c的指向按右手规则从a转向b来确定。那么，向量c叫做向量a与b的向量，记作ba。从定义立即可得（1）0aa；（2）0baba||。02、向量的向量积的运算性质（1）abba（2）cbcacba)(。03、两个向量的数量积的坐标表示式12zyxzyxbbbaaakjiba注意：从向量的向量积的定义可以看出，||ba在几何上表示以a、b为边的平行四边形的面积。（二）、曲面及其方程1、曲面方程的定义如果曲面S与三元方程0),,(zyxF⑴有下述关系：①曲面S上任一点的坐标都满足方程⑴；②不在曲面S上的点的坐标都不满足方程⑴，那末，方程⑴就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程⑴的图形。2．旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为0),(zyf，把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋轴曲面。它的方程为0),(22zyxf3．柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线4、二次曲面（三）、空间曲线及其方程1．空间曲线的一般方程0),,(0),,(zyxGzyxF⑴2．空间曲线的参数方程)()()(tzztyytxx⑵3．空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF⑶消去方程组⑶中的变量x或变量y或变量z，再分别和0x或0y或0z联立，我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面或xOy面上的投影的曲线方程：1300),(xzyR或00),(yzxT或00),(zyxH（四）、平面及其方程1．平面的点法式方程已知平面上的一点),,(0000zyxM及它的一个法线向量CBAn,,，则它的点法式方程为：0)()()(000zzCyyBxxA。2．平面的一般方程：0DCzByAx★平面的截距式方程：1czbyax3．两平面的