三对角矩阵的特征值及其应用

三对角矩阵的特征值及其应用从宇宙创始时的仅有氢、氦元素一直到后来的超重元素,超新星爆发成了新元素形成的宝库.因此研究超新星爆发的过程是十分重要的,而R过程是超新星爆发时的一个主要过程,研究超新星爆发时的R过程也就十分必要了([1]).R过程即快中子俘获过程,与发生在低中子密度、低温条件下的S过程相反,是发生在高中子密度,高温条件下的中子俘获过程([2]).在俘获过程中,当中子照射量较大时,即使是不稳定的核,只要有较长的寿命,在发生β衰变之前就可以吸收下一个中子.而且在变成寿命较短的核之前,不断添加中子,然后再衰变.这样一来,如果中子照射量很大,可以跨过作为终点的Bi207的α衰变,形成直到铀及超铀元素.由于R过程的产生要求有大量的中子和迅速的反应,使得产生R过程的情况受到很大限制,故多半应该考虑爆发时的异常情况,最可能的就是超新星爆发.在过去十年中,人们对R过程的认识有了重要进展.文献[3]总结了针对R过程的参变量研究、天体物理学模型和观测研究方面的最新研究结果.强调核物理和天体物理学之间的相互影响,并就R过程的进一步理论研究、实验研究和观测研究提出了建议.文中给出了R过程中的主方程为：++++−−=)1,()1,()1,()1,(),('AZYAZAZYAZvnAZYmrnnλσ(1-1))2,1()2,1()1,1()1,1(),1(),1(210+−+−++−+−+−−+AZYAZAZYAZAZYAZλλλ),(),(),(),(),(),()3,1()3,1(3AZYAZAZYAZAZYAZvnAZYAZmrnnλλσλ−−−+−+−+这里(,)YZA表示在一个R过程中产生的含质子数Z和原子量A的原子核（AZ,）的数量,'Y表示Y对时间t的导数,nn是中子的数量密度,),(AZvnrnnσ是热平均中子俘获率,),(AZmλ是光致分裂率,),(0AZλ、),(1AZλ、),(2AZλ、),(3AZλ分别表示释放0、1、2、3个中子的β裂变,又+=),(0AZλλ),(1AZλ++),(2AZλ),(3AZλ这里考虑(,)YZA分别与A和与Z无关的情况下方程（1-1）的解:1)(,)YZA与A无关,主方程（1-1）为:)()()1()1()('ZYZZYZZYλλ−−−=1容易求出其解为:1exp()niiiYvtλ==−∑，其中iv是相应于iλ的特征向量，1,2,,in=；2)(,)YZA与Z无关,主方程(1-1)为:01'()(1)(1)(1)(1)()()(1)(1)nnrmYAnvAYAAYAAYAAYAσλλλ=−−++++++++2(2)(2)AYAλ++)()()()()()()3()3(3AYAAYAAYAvnAYAmrnnλλσλ−−−+++将Z和A的取值范围分别记为ni,,2,1=和mj,,2,1=,则主方程可表示为:33221111++++++−−+++−=jjjjjjjjjjjyeydycybyadtdy,mj,,2,1=,00=a(1-2)此时线性算子⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−−nnnnbacbdcbaedcbaedcbR115432543214321000000000000000000由于这是一个与通常的排队论中出现的完全不同的模型.根据线性代数的知识,在一般情况下,要求出微分方程（1-2）的本征值的精确值是非常困难的,本文的第一部分将研究一些特殊情况,其中,任意三阶三对角阵的特征值完全解决；在三条斜对角线上元素分别相等的情况下四阶、五阶和n阶三对角阵的特征值也基本解决,又对该情况下12+m阶与m阶三对角阵的特征值的关系给出了证明．第二部分对对称三对角阵的特征值的范围给出估计．正文1．三对角矩阵的特征值1.1三对角阵的定义定义1：若矩阵njiijaA≤≤=,1)(的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−nnnnndbadbadbadbadA0000000000011133322211(2-1)那么就称矩阵njiijaA≤≤=,1)(为三对角阵([4]),(即：(2-1)－带状矩阵．)此时有0=ija（1||−ji）．1.2三阶三对角阵的特征值1.2.1全部非零元素相等00aaAaaaaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解：由00aaEAaaaaaλλλλ−−−=−−−−−()()()()()2222220aaaaaaaaλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−−=−−−=⎣⎦⎣⎦得：1aλ=,22aaλ=+,32aaλ=−．1.2.2对称的三对角阵00abAbabba⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解：由00abEAbabbaλλλλ−−−=−−−−−()()()()()2222220aabbaaabλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−−=−−−=⎣⎦⎣⎦得：1aλ=,22abλ=+,32abλ=−．1.2.3三条对角线上的元素分别相等300abAcabca⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解：由00abEAcabcaλλλλ−−−=−−−−−()()()()()2220aabcbcaaabcλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−−=−−−=⎣⎦⎣⎦可知当0bc时：1aλ=,22abcλ=+,32abcλ=−．当0bc时：1aλ=,22aibcλ=+,32aibcλ=−．1.2.4一般的三对角阵111222300abAcabca⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解：111222300abEAcabcaλλλλ−−−=−−−−−()()()()12322113aaabcbcaλλλλ=−−−−−−⎡⎤⎣⎦()()321231223312211123122311aaaaaaaaabcbcaaaabcabcλλλ=−+++++−−−−+0=(3-1)问题转换为解方程(3-1)．令：1a=,()123baaa=−++,1223312211caaaaaabcbc=++−−,123122311daaaabcabc=−−+．方程(3-1)变为:320bcdλλλ+++=(3-2)把方程(3-2)的各个根减去3ba−即1233aaa++,并且设：2223333acbcbpa−−==,3233292729272727babcadbbcdqa−+−+==,这样就将方程(3-2)变换成一个不含二次项的方程：30pqλλ++=(3-3)设uvλ=+,于是：()()33333333uvuvuvuvuvuvλλ=+=+++=++,4即得：()33330uvuvλλ−−+=(3-4)从而有：3puv=−,()33quv=−+．根据一元多项式根与系数的关系,可知3u,3v是二次方程32027pyqy+−=的两个根．解二次方程得：2332427qqpu=−++,2332427qqpv=−−+．(3-5)且满足：3puv=−(3-6)设1u是(3-5)的任意一个解,则u的另外两个解分别为：21uuw=,231uuw=,这里w是1的三次单位根．由(3-6)得与1u、2u、3u相应的v的三个解是113pvu=−,221vvw=,31vvw=．因此：23233311124272427qqpqqpuvλ=+=−+++−−+,232323322224272427qqpqqpuvwwλ=+=⋅−+++⋅−−+,232323333324272427qqpqqpuvwwλ=+=⋅−+++⋅−−+．至此,任意三阶三对角阵的特征值问题已全部解决．1.3四阶三对角阵的特征值本文以下均假设nA为三条线上元素分别相等的矩阵．引理1：对n阶三对角阵nabcabAcabca⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,有()12nnnDaDbcDλ−−=−−,其中nD为nA的特征多项式．5证明：nnnabcabDEAcabcaλλλλλ−−−−−=−=−−−−−()()110nnabcbcaaabbbcacaλλλλλλ−−−−−−−−−=−−−−−−−−−()12nnaDbcDλ−−=−−．证毕．引理2：nD为三对角阵nA的特征多项式,若α,β分别为()0bcxax2=+−−λ的两个根,则11,(1),2nnnnDanαβαβαβλαβ++⎧−≠⎪−⎪=⎨−⎛⎞⎪+=⎜⎟⎪⎝⎠⎩．证明：∵α,β为()0bcxax2=+−−λ的两个根,∴aαβλ+=−,bcαβ⋅=又由引理1得：()12nnnDaDbcDλ−−=−−∴()12nnnDDDαβαβ−−=+−∴()()211221nnnnnnDDDDDDαβαβαβ−−−−−=−==−=(3-7)同理：1nnnDDβα−−=(3-8)∴由(3-7),(3-8)得11,(1),2nnnnDanαβαβαβλαβ++⎧−≠⎪−⎪=⎨−⎛⎞⎪+=⎜⎟⎪⎝⎠⎩．证毕．根据引理1和引理2有以下结论：(1)αβ=时,()24abcλ−=易得存在12abcλ=+,22abcλ=−．6(2)αβ≠时,要求λ即要解决110nnnDαβαβ++−==−．定理1：当nA为4阶三对角阵时,特征值λ分别为1352bcbcaλ+=+,2352bcbcaλ+=−,3352bcbcaλ−=+,4352bcbcaλ−=−．证明：4n=时,即解决550αβ−=．∵()()55432234αβαβααβαβαββ−=−++++而αβ≠∴4322340ααβαβαββ++++=而()44322343223353ααβαβαββαβαβαβαβ++++=+−−−()()4222235αβαβαβαβ=+−+−()()()422325αβαβαβαβαβ⎡⎤=+−+−−⎣⎦()()423αβαβαβαβ⎡⎤=+−+−⎣⎦0=∴()()4230abcabcλλ⎡⎤−−−−=⎣⎦,即：()()()42230aabcbcλλ−−−+=令()20atλ−=,则1352bcbct+=,2352bcbct−=．当()211atatλλ−=⇒=±,有1352bcbcaλ+=+,2352bcbcaλ+=−当()222atatλλ−=⇒=±,有3352bcbcaλ−=+,4352bcbcaλ−=−综上可知,当4n=时,1352bcbcaλ+=+,2352bcbcaλ+=−,73352bcbcaλ−=+,4352bcbcaλ−=−．证毕．至此,关于四阶三对角阵在三条对角线上元素分别相等时的情况下的特征值全部解决．1.4五阶三对角阵的特征值定理2：当nA为5阶三对角阵时,特征值λ为：当0bc时,1aλ=,23abcλ=+,33abcλ=−,4abcλ=+,5abcλ=−；当0bc时,1aλ=,23aibcλ=+,33aibcλ=−,4aibcλ=+,5aibcλ=−．证明：5n=时,即解决660αβ−=∵()()6633330αβαβαβ−=+−=,∴330αβ+=或330αβ−=当()()23330αβαβαβαβ⎡⎤+=++−=⎣⎦⇒()()230aabcλλ⎡⎤−−−=⎣⎦∴0bc时,1aλ=,23abcλ=+,33abcλ=−；0bc时,1aλ=,23aibcλ=+,33aibcλ=−．当()()33220αβαβααββ−=−++=⇒()()220abcαβαβλ+−=−−=∴0bc时,4abcλ=+,5abcλ=−；0bc时,4aibcλ=+,5aibcλ=−．∴当0bc时,1aλ=,23abcλ=+,33abcλ=−,4abcλ=+,5abcλ=−当0bc时,1aλ=,23aibcλ=+,33aibcλ=−,4aibcλ=+,5aibcλ=−．证毕．至此,关于五阶三对角阵在三条对角线上元素分别相等时的情况下的特征值全部解决．1.5矩阵21mA+与矩阵mA的特征值的关系8定理3：n阶三对角阵nabcabAcabca⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠当21nm=+时,矩阵21mA+的特征值有m个与矩阵mA的特征值相等．证明：因为当21nm=+时,要解决的是22220mmαβ++−=这个方程．而()()22221111mmmmmmαβαβαβ++++++−=+−即要解决110mmαβ+++=或1