湖北省2012-2013学年度高三第一次考试数学理科试题

湖北省2012-2013学年度高三第一次考试数学理科试题本试卷共4页。满分150分。考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名，在规定的位置贴好条形码。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔答题,不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。一、选择题：（共10小题，每题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{|1}Pxx，{}Ma，若PMP，则a的取值范围是()A.(,1]B.[1,)C.[1,1]D.(,1][1,)2.下列选项叙述错误的是()A.命题“若1x，则0232xx”的逆否命题是“若0232xx，则1x”B.若命题01,:2xxRxp，则p01,:2xxRxC.若qp为真命题，则p、q至少有一个为真命题D.设,xyR，则“2,2xy且”是“224xy”的必要而不充分条件3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（）A.3yxB.1ln||yxC.||2xyD.cosyx4.函数2221xxy的值域为()A.2,0B.21,C.21,0D.,215.函数3log3xy的图象大致是（）6.设a=3log2,b=ln2,c=125,则()A.abcB.bcaC.cabD.cba7.已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x时,3()fxxx,则函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.5B.6C.7D.88.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x，则关于x的方程f(x)=110x，在x∈[0，4]上解的个数是A.1B.2C.3D.49.对于函数()sinfxaxbxc(其中，,,abRcZ)，选取,,abc的一组值计算(1)f和(1)f，所得出的正确结果一定不可能是()A．1和2B．1和3C．2和4D．4和610．已知y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是()．A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．［2，＋∞)二、填空题（共25分）11.函数()ln2fxxx有一个零点所在的区间为*(,1)()kkkN，则k的值为______．12.函数,0,1,0,1lnxxxxxf则1xf的解集为_____________.13.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.14.函数()fx的定义域为A，若12,xxA且12()()fxfx时总有12xx，则称()fx为单函数．例如，函数()fx=2x+1(xR)是单函数．下列命题：①函数2()fxx（xR）是单函数；②指数函数()2xfx（xR）是单函数；③若()fx为单函数，12,xxA且12xx，则12()()fxfx；④在定义域上为单调函数的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）（选做题：15、16题为选做题，若两题都答，则按第15题给分）15.已知函数112xxy的图象与函数2kxy的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.16.已知集合},32|{xRxA集合},0)2)((|{xmxRxB且),,1(nBA则m=__________，n=__________.三、解答题（共75分）17．（本小题满分12分）设a＞0，f（x）＝xxeaae是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数18．（本小题满分12分）已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}．对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1时，f(x)0,f(2)=1．（1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）解不等式f(2x2-1)2．19．（本小题满分12分）已知奇函数f（x）定义在R上，其图像关于x=1对称，当x∈[0,1]时，12)(xxf（1）证明f（x）是周期函数（2）若当x∈[-1,0]时，f（x）≥a恒成立，求a范围20．（本小题满分12分）设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．21.（本小题满分13分）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至此250吨之间，其生产的总成本y(万元)与年产量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为.4000301012xxy问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少（吨）时，可获得最大利润？并求出最大利润。22.（本小题满分14分）已知函数xxxfln)(的图象为曲线C,函数baxxg21)(的图象为直线l.(1)当3,2ba时,求)()()(xgxfxF的最大值;(2)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为21,xx,且21xx,求证:2)()(2121xxgxx.理科数学（答案）二、填空题11.3，12.),0()1,(e，13.4，14.②③④15.10k或41k，161,1三、解答题18．解析:(1)因对定义域内的任意x1﹑x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x,x2=-1，则有f(-x)=f(x)+f(-1)．又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1)．再令x1=x2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0,于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数．…………4分(2)设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·12xx)=f（x1）-[f(x1)+f(12xx)]=-f(12xx)．由于0x1x2,所以12xx1,从而f(12xx)0,故f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数．…………8分(3)由于f(2)=1，所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),于是待解不等式可化为f(2x2-1)f(4),结合（1）（2）已证的结论，可得上式等价于|2x2-1|4,解得{x|-210x210,且x≠22}．…………12分19．解：（1）T=4（2）a≤-120解对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x＝32或x＝12.综合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x＝32是极小值点，x＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.22．解：（1）3ln)(3,2xxxxFba10ln11ln1)(222xxxxxxxF)(,0)(),1,0(xFxFx单调递增，)(,0)(),,1(xFxFx单调递减，2)1()(maxFxF（2）不妨设21xx，要证2)()(2121xxgxx只需证2)(21)(2121bxxaxx只需证21212)(21xxbxxa只需证2112122122)(2)()(21xxxxxxbxxa只需证2112121222)(2)21(21xxxxbxaxbxaxbaxxx11121ln222ln1,2xaxbx即证121212)(2lnlnxxxxxx，即121212)(2lnxxxxxx.即1)1(2ln121212xxxxxx令112xxt,即证1)1(2lntttφ01)1(2ln)(ttttφ2)1()1(2)1(21)('ttttt22)1(4)1(ttt2)1()1)(3(ttttφ(t)在（1，﹢∞）单调递增，∵φmin)(tφ(1)=0∴φ(t)0即1)1(2ln121212xxxxxx∴2)()(2121xxgxx