概率论与数理统计34相互独立的随机变量.

一、随机变量的相互独立性二、小结第四节相互独立的随机变量随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不同的处理.{,}{}PXxYyPYy}{)(yYxXPyYxF且设A是随机变量Y所生成的事件：}{yYA0}{yYP则有一般的，由于随机变量X,Y之间存在相互联系，因而，一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性。在何种情况下，随机变量X,Y之间没有上述影响，而具有所谓的“独立性”，}{xXP(,)()YFxyFy=()XFx我们有如下定义：.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的相互独立是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX一、随机变量的相互独立性1.定义若随机变量X,Y相互独立，则联合分布可由边缘分布唯一确定},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即).()(),(yfxfyxfYX相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()2(yfxfyxfYXYX则相互独立和,)3(YX.)()(也相互独立和YgXf（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A,B}{}{},{BYPAXPBYAXP(5)若n个随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,则它们中的任意m(1m≤n)个随机变量也相互独立.),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131例1的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132解的分布律改写为将),(YX)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有.),(,],[),,(,2的联合概率密度求上服从均匀分布在服从并且相互独立和设随机变量YXbbYσaNXYX;,eπ21)(222)(xσxfσaxX又)()(),(yfxfyxfYX所以解由于X与Y相互独立,例2.,0,,21)(其他bybbyfY,eπ2121),(222)(σaxσbyxf得.0),(,yxfby时当.,bybx其中其他0,2121),(222)(bybxebyxfax因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.练习设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0p.j31pi.42XY0.30.70.60.410.180.120.420.28YX421318.012.042.028.0说明：对于两个随机变量，边缘概率分布仅仅分别刻划了每个单个随机变量，联合分布才是对它们联合在一起的整体的最全面的刻划，条件分布是它们相互关系的直接刻划，而独立性是一种特殊的相互关系。例3：设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.Xx1x2Yy1y2y31/81/8ipjp1/611/241/41/121/21/33/43/81/4练习2一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解,达办公室的时间书到分别是负责人和他的秘和设YX的概率密度分别为和由假设YX,,0,128,41)(其它xxfX,,0,97,21)(其它yyfY,,相互独立由于YX的概率密度为得),(YX)()(),(yfxfyxfYX.,0,97,128,81其它yx}121{YXPGyxyxfdd),().(81的面积GOxy81279ABBCCG的面积的面积的面积而CBAABCG22121121121321.61于是}121{YXP)(81的面积G.481.4815分钟的概率为不超过到达办公室的时间相差因此负责人和他的秘书Oxy81279ABBCCG我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为21212221)()1(21exp121),(xyxf22222121)())((2yyx);(21)(21212)(1xexfxX两个边缘概率密度为).(21)(22222)(2yeyfxY不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与Y相互独立的充要条件是参数ρ=0.参数ρ称为X与Y的相关系数(ch4).如果随机变量X与Y的相关系数ρ=0,称X与Y是不相关的.一般,X与Y相互独立X与Y不相关.但对二维正态随机变量(X,Y),X与Y独立与不相关是等价的.三、小结则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),(.2yfxfyxfYXYX).()(),(yfxfyxfYX}.{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX.)()(,.3也相互独立和则相互独立和YgXfYX相互独立和YX1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij练习：(X,Y)的联合概率分布为:X01Y010.30.40.20.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).解:(1)X,Y的概率分布分别为:p.j10pi.10XY0.70.30.50.510.30.40.20.1(2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.35)0()0()0,0(YPXPYXPX,Y不独立.注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.(3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7练习:设(,)XY的联合密度函数401,01(,)0xyxyfxy其它.(1)求分别关于X与Y的边缘密度函数;(2)X与Y是否独立?说明理由.解(1)10401201()(,)00Xxydyxxxfxfxydy其它其它10401201()(,)00Yxydxyyyfyfxydx其它其它(2)因为(,)()()XYfxyfxfy,则X与Y相互独立.练习：设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均匀分布,Y的概率密度为,,0,0,21)(2其它yeyfyY(1)求X与Y的联合概率密度;(2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0有实根的概率.〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度因为X,Y独立,且有,,0,10,1)(其它xxfX,,0,0,21)(2其它yeyfyY所以,X与Y的联合概率密度为.,00,10,)()(),(221其它yxeyfxfyxfyYX例2-续1(2)求方程有实根的概率“方程有实根”即为,04)2(2YX故所求概率为;2),(}{2xydxdyyxfXYPdxex102221212),(}{2xydxdyyxfXYPDydxdye221dyedxxy2021021dxexy10022|dxex102)1(2)0()1(215.08413.05066.211445.0□