正定矩阵的应用

1关于正定矩阵应用的综述数学与应用数学专业数学1201班XXX指导老师XXX摘要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充.关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵；1.引言矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注.正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义.由正定矩阵的一些基本性质,并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质.二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用.2.正定矩阵的应用2.1.矩阵正定在运算中的性质应用定理1:若A与B都是同阶正定矩阵,则矩阵AB的特征根都大于零.证明：AB都是正定矩阵,故有非奇异矩阵PQ、,使,TTAPPBQQ,于是,1TTTTTTTTABPPQQQQPPQQQPQPQQ因为TPQ非奇异,故TTPQPQ是正定阵,从而与它相似的矩阵AB的特征值都是正数.应注意的是,定理1中仅指AB的特征值是大于零的,而由于AB不一定是对称阵,所2以不能得出AB亦为正定阵的结论.另外,矩阵运算中的乘法运算不满足一般的交换律,而满足可换性的正定阵有非常好的性质定理:以下又给出两个具有可换性的矩阵性质定理,首先对定理1改进有:定理2：若,AB是同阶正定矩阵,且ABBA,则AB也是正定阵.特别地有相应推论：推论1：设A为n阶对称阵,12=,,,nBdiagbbb其中12,,nbbb都大于零,若=ABBA,则AB也是正定矩阵.略证：由12=,,,nBdiagbbb，由于12,,nbbb都大于零，则B是正定的对称阵,若ABBA，则TTTABBABAAB,即AB是对称阵.由定理1可知,AB的特征值都大于零,由性质知AB是正定阵.推论2：设A与B是正定对称矩阵，则AB是正定矩阵.注意，对于推论2，若,AB为未对称的情形，则不一定成立.例题1设12=21AB是正定矩阵，14=41AB，因为0DetAB,故AB不是正定矩阵.定理3：设A、B都是n阶是对称矩阵，A是正定矩阵，则AB的全部根就是1AB的全部特征根，也就是1BA的全部特征根.证明：A是正定矩阵，则0A，所以，1IAB与1AIABIB的根完全一致，即1AB的全部特征根就是AB的全部根.同理可证，1BA的全部特征根就是AB的全部根.定理4：若A、B都是正定矩阵，则多项式fAB的根都是正数，且AB的根都是1.当且仅当AB.证明：A、B都是正定矩阵，故有非奇异矩阵P，使TPAPI,所以，TPBP也是正定矩阵.而TTTTPABPPAPPBPIPBP,所以，0AB,当且仅当，0TIPBP,即AB的根与TIPBP的根一致.但TPBP正定，推出它的特征根都是正数.因此AB的根全部都是正数.AB的根全是1分当且仅当TPBP的特征根全是1，其充分必要条件是有正交矩阵Q使得1TTQPBPQ,即=TTPAPIPAP,因为P非奇异，所以=TTPBPPAP,当且仅当AB.定理5：设A、B都是实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b.若0ab，则+AB是正定矩阵.证明：由所给条件知，+AB是实对称矩阵，且我们知道,AaEBbE都是正定矩阵.设是+AB的任一特征值，则3EABabEAaEBbE这表明ab是AaEBbE的特征值.又可知AaEBbE正定，故0ab，所以0ab，即+AB的特征值全大于0，从而+AB为正定矩阵.证毕.例题224=1415AB,A的特征根全大于3,B特征根全大于3，3+3=0，有定理5可知，+AB是正定矩阵.2.2.矩阵正定与柯西不等式的关系如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢?设=ijAa是一个n阶正定矩阵,则对任何向量12,,,nxxx与12=,,nyyy，定义,1=ijijijaxy，则可以证明由该定义的一定是n维向量间的内积.反之,对于n维向量间的任意一种内积,一定存在一个n阶正定矩阵=ijAa,使得对任何向量和,，可如上定义.因此,给定了一个n阶正定矩阵,在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式：,111nnnijijijijijijijjjaxyaxxayy例题3：证明不等式112233122331312222221231223123122322xyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxyyyyyyy对所有实数123,,xxx和123,y,yy均成立.证明:从不等式来看，可知它相当于AB，,其中,是由矩阵210121012A所定义的，但要证明,是内积还需证明A是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式，因此4不等式成立.注意：上述不等式可以推广为11+11111221111112+2nnijiiiiiinnnniiiiiiiiiixyxyxyxxxyyy其中1n是正整数，而1212,,,y,y,ynnxxx是任意实数.2.3.利用矩阵正定判别线性互补问题正定矩阵的一般形式是：设A是n阶实对称矩阵,若对nxR且0x都有0TxMx.从广义正定矩阵的概念出发，并把该类正定矩阵推广到P矩阵和S矩阵，可以用该类正定矩阵来判别线性互补问题解的存在性和唯一性.设矩阵nnMRM是一半正定矩阵(或者说,qLCPM是一单调线性互补问题),对于任意nqR,若,qLCPM是可行的，则,qLCPM必有解，且其解集为凸集.证明：,qLCPM可以等价于二次规划min..00TxMxqQPstMxqx将目标函数中的二次函数项表示为对称矩阵二次项12TTxMMx，则该二次规划可以等价地写成1min2..00TTTxMMxqxQPstMxqx这里的TMM是一半正定矩阵，且=2TTTxMMxMMx,因此这是一个凸规划,其目标值有下界，且下界为零，必存在x满足条件：01020,030,04TTTTTTTqMMxMuxqMMxMuuuMMxMxq其中u为Lagrange乘子.由(1)式可知TTTTTuquMMxuMu因此50102TTTTTTTTTTTTTTTTTxMxqxMxquMxqxqMMxMuxMxuqxMxuMMxuMuxuMMxu从而0TxMxq，这说明x是,qLCPM的解.下面证明,qLCPM的解集为凸集.设1122,,,xyxy是,qLCPM的解，因此我们需要证明对任意的12120,1+1,1xxyy，也是,qLCPM的解.首先，1212+10+10xxyy且121212+1=11yyMxqMxqMxxq这说明1212+1,+1xxyy是,qLCPM的可行解.其次，12122112112212121220+1+11110TTTTTTTTxxyyxyxyxyxyxxyyxxy因此有1212+1+10Txxyy.这说明1212+1,+1xxyy也是,qLCPM的解;于是,qLCPM的解集为凸集.例题4判断2212121221fxxxxxx是否为凸函数？解：由条件可知，121212421,,1,0,1222TTfxxxxxxx.从而得到：在该二次函数fx中，4222Gx是正定的.所以fx是严格凸函数.62.4.正定矩阵在数理统计中的应用在概率论中，协方差矩阵为正定矩阵，我们先看二维的情形，定义二维随机向量,XY，那么,XY的协方差矩阵为半正定矩阵，cov,cov,YcovY,covY,YXXXBX,由概率论的相关知识得知其非负定性.同理可得，维n随机向量12n，的协方差矩阵：1121212212cov,cov,cov,cov,cov,cov,nnnnnDDBD也是半正定的，就可以运用正定矩阵的一些性质来解决实际问题.在实际的线性模型中，当被比较的估计都是无偏估计时，协方差阵被用作是最常用的标准.假设因变量Y和自变量11,pXX之间有如下线性关系：01111ppYXX其中011p，，为未知参数,为随机误差，我们首先需要基于观测数据对未知参数011p，，作出估计.现在假设对p个变量1p-1,,YXX作了n次观测：1.1,,,1,2,iiipyxxin其中01111iiippiyxx，i为第i次试验的随机误差，且0iE,2cov,,,1,ijijvijn.记：10111,101120212,11201,11,,,ppnnnnppnxxxyxxxyXyxxx则线性模型用矩阵的形式表示为2,0,covxXEV这里ijVv，X称为设计阵，其秩rXrp记为2,,dLyXV例题5假设1和2为未知参数向量的两个无偏估计，且当12covcov时，称2至少与1一样好.若1和2中至少有一个是无偏估计，则采用MSEM比较合理，其中MSEM为均方误差矩阵，且111TMSEME若有12MSEMMSEM成立，则被称为在均方误差阵意义下2至少与1一样好.在线性模型2,,dLyXV中，考虑0,VrXp的情形，根据前面叙述的7结果，我们有*ˆcovcov即1111TTTTXXXVXXXXVX，这个偏序关系就是*优于ˆ的一个刻画.对于MSEM准则，为简单起见，设VE，也就是GaussMarkov假设成立,设,1,2iiAyi为的两个有偏估计,则它们的均方误差阵为2,1,2TTiiiiiMSEMA