浅谈不等式问题的优化策略

浅谈不等式问题的优化策略秦社刚（贵州省三都民族中学558100）【摘要】：不等式问题一直是高考命题中的一个热点与难点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。【关键词】：不等式优化策略不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。1.逆向思考，执果索因例1.已知适合不等式5342xpxx的x的最大值为3,求p的值.解析:按先去绝对值后解不等式再求最值的常规方法,势必很繁琐.由x的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得3x是对应方程5=3++42－－xpxx的一个解,代入得8p或2p.当8=p时,不等式为53842xxx,因为0842xx所以538432xxxx,或32538432xxxxx满足题意.当2p时,不等式为53242xxx.易知5x是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意.所以8=p注意:先待定p后验证p,解法令人“拍案叫绝”。2．挖掘隐含条件，避开复杂讨论例2．已知二次函数()xxxf+21=2－，是否存在nm,使()xf的定义域和值域分别为nm,和nm2,2？说明理由。解析：若就函数的对称轴和区间的相对位置来讨论，势必很繁。注意到函数2121)1(2121)(22xxxxf，从而由212n，即41n，又可知在区间nm,上函数()xf为增函数，根据已知条件得nnnmmmnnfmmf2212212)(2)(22,因为41nm，解得02nm。3．积零为整，各异特征总体说明例3．已知函数)0()(,)(2aaxxgxxf，若不等式1)()()(xfxagxf在2,1x上恒成立，求整数a的取值范围。解析：将()()xgxf,代入得，不等式1)()(2xfaxax在2,1x上恒成立，整理后即:2)(0xaxa对2,1x上恒成立。设()()xaxaxh+=。因为0,0ax，只须证2,1x时2)(maxxh即可，()xh的最大值的讨论要考虑到a与区间2,1的关系，此时不妨放缓讨论，总体分析其特征，注意到()(){()}2,1max=maxhhxh，故问题的解只需2)2(2)1(hh，解得2220a。注：本题的解答实际上是一种“化整为零”分析，“积零为整”解决的解题方法。4．构建函数，实现高次问题的常规处理例4．问是否存在5.02.0x，使得0≥25.0+25.16xx－成立？解析：从高次不等式出发显然无法完成解答，不妨转换视角从函数的角度、利用函数的性质来解决。设()25.0+25.1=6xxxf－，考虑()xf在()5.0,2.0上的单调性。因为()456=5'－xxf，显然当()5.0,2.0∈x时0456)(5xxf，所以()xfy=为单调减函数。又因为02.025.02.025.12.0)2.0(66f，所以存在5.02.0x，使得0≥25.0+25.16xx－成立。注：避开高次不等式，运用导数来研究函数性质是一种新解法。5．等价转化、回避参数例5．已知0a且10,1xa，求证)1(log)1(logxxaa.解析：对于本题，很多人都会按先去绝对值符号，后按10a和1a进行分类讨论来解，事实上，正因为有绝对值利用换底公式即可得到解答与参数无关。()()()()()[()]xxaaxaxxxaa+1lg1lglg1lg+1lglg1lg=+1log1log－－＝－－－－,因为10x，所以，110,211,1102xxx所以0)1lg()1lg()1lg()1lg()1lg(2xxxxx。所以)1(log)1(logxxaa。6．避重就轻，巧用性质例6．设定义在[]2,2－上的偶函数()xf在区间[]2,0上单调递减，若)()1(mfmf，求实数m的取值范围。分析：函数的单调区间为[]2,0和[]0,2－，那么mm1，－在某个区间内还是分别在两个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整，巧用偶函数的性质()()()xfxfxf==－，就大可不必讨论变量可能所在的区间了。解：因为已知()xf为偶函数，所以()()()xfxfxf==－，由)()1(mfmf，得)()1(mfmf，根据单调性得211121020mmmmm。7．转换视角、变更主元例7．若1log6))(log1()(323axaxaxf在[]1,0∈a时恒为正数，求实数x的取值范围。分析：本题如果当成是关于x3log的二次函数，这样就等于走进了一个讨论的大圈子，而且很难顺利地走出来。变更主元把原函数当成是关于a的一个函数，则问题的解决就仅与两个端点有关了。解析：设关于a的函数1)(log1log6)(log1log6))(log1()(23323323xaxaxaxaxaah当[]1,0∈a时0)(ah恒成立。即3332333131log102log601)(log0)1(0)0(xxxxhh。不等式问题的解法还有很多，我们在解决不等式的问题时要善于观察，勤于思考，能够把复杂问题简单化，从而有效的提高解题的速度和准确率。