浅谈高等数学中第二型曲面积分的计算方法

。1浅谈高等数学中第二型曲面积分的计算方法安庆师范学院数学系陈定元第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点。在传统的教科书上关于第二型曲面积分的计算主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算，第一种方法运算量较大；第二种方法必须要满足高斯公式成立的条件，学生在使用这两种方法时经常出现错误。定义设为光滑的有向曲面，函数(,,)Rxyz在上有界，把任意分割成n块小曲面(1,2,,)iSin（iS同时表示第i小块曲面的面积）,iS在xoy坐标面上的投影为(),(,,)ixyiiiiSS,若当各小块曲面的直径的最大值0时，01lim(,,)()niiiixyiRS存在。则称此极限值为(,,)Rxyz在有向曲面上对坐标,xy的曲面积分（或第二型曲面积分）.记作(,,)Rxyzdxdy。第二型曲面积分的组合形式为：(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy。若(,,)(,,)(,,)vPxyziQxyzjRxyzk表示稳定流动的不可压缩的流体的速度场，表示速度场中的一片有向曲面，函数(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz在上都连续，则(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy表示的物理意义为单位时间内流向指定侧的流体的质量。1第二型曲面积分的传统计算方法对第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy,如果按照高斯公式(,,)(,,)(,,)()PQRPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdydxdydzxyz,则必须是封闭曲面且(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz在所围的空间闭区域内具有一阶连续偏导数。根据曲面积分的运算性质，(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy可以转化为以下三个第二型曲面积分来计算：1(,,)IPxyzdydz,2(,,)IQxyzdzdx,3(,,)IRxyzdxdy,为此要计算三个二重积分：'1(,,)yzDIPxyzdydz,'2(,,)zxDIQxyzdxdz,'3(,,)xyDIRxyzdxdy,其中,,yzDzxxyDD分别为曲面在坐标面,,yozxozxoy上的投影。化第二型曲面积分为二重积分计算时一定要注意曲面的侧：当把投影到xoy坐标面时，上侧为正下侧为负；投影到yoz坐标面前侧为正后侧为负；投影到xoz坐标面时，右侧为正左则为负。所以在计算时经常要将曲面分为两个部分，这是因为:如果将1(,,)IPxyzdydz化为关于,yz的二重积分，需要具备以下两个条件：(1)曲面必须能够写成形如(,)xhyz的方程。如曲面为抛物面22zxy,则不能统一写成形如(,)xhyz的形式，所以计算1(,,)IPxyzdydz时,必须将曲面:22zxy分成前后两部分：2212:,:xzyxzy,（2）在曲面上，x必须是,yz的单值函数，只有这2样才能将曲面积分化为二重积分，而在2212:,:xzyxzy中x是,yz的单值函数，因此要将其化为两个二重积分。所以计算第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy时最多可能要计算六个二重积分，运算量相当大且容易出错。2第二型曲面积分的向量计算形式根据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系:(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy=(coscoscos)PQRdSAndS,其中{,,},{cos,cos,cos}APQRn为有向曲面上点(,,)xyz处的单位法向量，dS是曲面的面积微元,正好符合第二型曲面积分的物理意义。又因为两个向量值函数的数量积An是一个数值函数，所以AndS是第一型曲面积分，当曲面方程为(,)zfxy上侧时，单位法向量为221()()ffijkxynffxy,曲面面积微元为221()()ffdxdyxy,这就是说在此计算过程中，计算量较大的因子221()()ffxy肯定要被约去，实际不需要计算。所以第二曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy=()()xyxyDDffPiQjRkijkdxdyAndSxy,整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小。例求32222()xdydzydzdxzdxdyIxyz,其中为球面2222xyzR的外侧。解此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算,则需要计算六个二重积分,较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求,被积函数的分母在原点等于零,不能直接对球体2222xyzR和它的边界运用高斯公式。因此需要以原点为中心,某个充分小的正数为半径作球面2222:xyz,内侧为正,用表示球面2222xyzR与球面2222:xyz围成的空间区域.对空间区域和它的边界,运用高斯公式,最后可化为3322222222()()xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyIxyzxyz还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便。32222()xdydzydzdxzdxdyIAndSxyz其中322222221()(),()Axyzxiyjzknxiyjzkxyz,所以32222()xdydzydzdxzdxdyIxyz22221()()()xiyjzkxiyjzkdxdyxyz32222221144xyRdxdyRRR3结论利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算,避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定,且计算过程运算量较大的因子221()()ffxy可以不需计算,所以其显著优点是物理意义明确,计算过程简单,适用于所有的第二型曲面积分的计算,值得掌握。