有限元网格剖分与网格质量判定指标李海峰2012

1、有限元网格剖分与网格质量判定指标李海峰2012摘要：讨论了网格剖分中的一些常见问题，阐述了网格剖分中应遵循的要求，介绍了近十多年来网格剖分方法的研究进展，回顾了网格剖分的各种算法，并比较了各种算法的优缺点。基于工程计算需求，提出了网格质量要求及判定指标，探讨了网格质量优化问题。同时，介绍了当前广泛使用的网格剖分前处理商业软件及其应用状况，并结合工作实际，给出了复杂模型网格剖分的具体实例。最后展望了网格剖分的发展趋势。关键词：网格剖分；有限元；算法；网格质量；判定指标一.引言有限元分析的最终目的是要还原一个实际工程系统的数学行为特征，即分析必须是针对一个物理原型的准确的数学模型。从广义上讲，模型包括所有的节点、单元、材料属性、几何特性、初始条件、边界条件等，以及其他用来表现这个物理系统的特征。从狭义上讲，模型生成仅指用节点和单元表示空间体域以及实际系统连接的生成过程，即网格剖分。，在数值分析的三个阶段中，前处理约占总时间的４０％～６０％，数值求解约占５％～２０％，计算结果后处理约占３０％［２］二网格剖分要求有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成单元的过程，常用的单元包括：一维杆单元。

2、及集中质量元，二维三角形和四边形单元，三维四面体、五面体、金字塔形、六面体单元。其边界形状主要有直线型、直面型、曲线型和曲面型。网格划分应该遵循以下原则：①合法性；②相容性；③协调性；④逼近精确；⑤良好的单元形状；⑥良好的划分过渡性；⑦网格划分的自适应性；⑧一致性。三网格剖分准备与剖分方法3.1网格剖分准备工作（１）确定合适的网格密度。网格剖分密度很重要，如果网格过于粗糙，那么结果可能包含严重的错误，如果网格过于细致，将花费过多的计算时间，浪费计算资源，而且模型过大可能会导致不能在自己的计算机上运行。（２）单元形状与类型的选择。从单元几何形状看，一维分析有两点或三点线单元，二维分析有三角形或四边形单元，三维分析有四面体或六面体单元。从数值积分方案看，有全积分和降阶积分之分,，取决于分析问题所要求的精度，全积分方案精度高，降阶积分方案精度低。从分析问题的类型看……从单元的阶次看，，有线性单元（无中间节点）和二次单元（带中间节点），3.2网格剖分方法（１）网格直接生成法（直接建模法）（２）由几何实体生成网格法（实体建模法）。最主要的优点在于复杂模型通过这种方法容易生成，而通过直接生成法往往。

3、很难处理，而且还容易出错。这是该方法适用范围更广的重要原因。通过这种方法，有时还可以使用从其他ＣＡＤ软件传输过来的模型进行操作，可大大提高效率。四有限元网格剖分算法4.1拓扑分解法拓扑分解法是由Ｗｏｒｄｅｎｗｅｂｅｒ［１５］提出的，用于求解二维平面问题，现已推广至三维空间。该方法用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖，这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定，这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法，用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动转换。拓扑分解法原理简单，引入的算子概念使程序易于实现模块化，处理容易。但是该方法只从拓扑关系入手，不考虑几何因素，因此难以保证网格质量，而且检测量很大，对包含曲面的三维形体也难以处理。Ｗｏｏ等［１６］提出了另外一种基于拓扑分解法的有限元网格自动生成算法，试图解决三维实体的有限元网格生成问题，但其网格质量难以得到保证。4.2节点连元法节点连元法主要包括两个步骤：节点生成和单元生成。首先在待分区域内生成一定数目的节点，然后通过适当的算法连接节点生成有限元单元。常用的算法有Ｄｅｌａｕｎａｙ。

4、三角剖分法（简称ＤＴ法）和推进波前法（aｄｖａｎｃｉｎｇｆｒｏｎｔｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ＡＦＴ）。ＤＴ法是目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。其最大优点是遵循“最小角最大”和“空球”准则。。“最小角最大”是指在不出现奇异性情况下，Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分最小角之和均大于任何非Ｄｅｌａｕｎａｙ剖分所形成的三角形最小角之和。ＤＴ法自动避免了生成小内角的长薄单元，特别适用于有限元网格生成。而“空球”准则是指在剖分的任意三角形单元或四面体单元的外接圆（二维）或外接球（三维）内都不包含其他单元节点。ＤＴ法充分考虑了几何形状中存在的微小几何特征，并能在微小几何特征处划分较细的单元。在不需要密集网格处，采用稀疏单元，疏密网格的过渡十分平滑。但直接的ＤＴ法只适用于凸域，不适用于非凸域，因此后来又发展了多种非凸域的Ｄｅｌａｕｎａｙ剖分。近年来，推进波前法也已经成为目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。ＡＦＴ的关键技术有两个：区域的边界离散与内部节点合理生成，扣除三角形条件。而扣除三角形条件有多种：最短距离条件、最大角条件、最大形状质量条件、最小外接圆条件等。由它生成的网格同样有着很好的几何尺寸和。

5、形状且疏密过渡平滑。当网格疏密过渡较剧烈时，它也同样能够生成高质量的网格。4.3网格模板法优点是网格生成完全自动，网格剖分速度快，非常适用于自适应网格生成；主要缺点是边界单元形状难于完全保证。另外，网格模板法对物体的方向较敏感。4.4映射法映射法的基本思想是：通过适当的映射函数将待剖分物理域映射到参数空间中形成规则参数域；对规则参数域进行网格剖分；将参数域的网格反向映射回物理空间，从而得到物理域的有限元网格。映射法的优点是：算法简单、速度快、单元质量好、密度可控制，它既可生成结构化网格又可生成非结构化网格，既可生成四边形单元网格又可生成六面体单元网格，可用于曲面网格生成，可与形状优化算法集成等。4.5几何分解法几何分解法的最大优势是离散时考虑了网格的形状和大小，因此，所生成的网格单元形状和分布比较好。但是，这种方法自动化程度比较低，也不利于复杂件的网格生成。4.6基于栅格法这种方法能实现网格生成的自动化，网格的生成速度也非常快，能够生成的单元类型很多，划分简单，效率较高。其最大缺点是物体边界单元的质量较差；另一个缺点是所生成的单元尺寸相近，网格密度很难得到控制。4.7空间编码法五网格形。

6、状质量判定及指标5.1网格质量要求5.2一维网格质量评价指标5.3二维网格质量评价指标5.4三维网格质量评价指标六有限元网格质量优化6.1网格优化6.2自适应网格方法七网格剖分前处理软件及其应用状八网格剖分实际案例九网格剖分前处理技术发展趋势十结语。