机械CAD-CAM之二维图形复合换

机械CAD/CAM之二维图形复合变换一、相对于任意点的旋转变换：平面图形绕任一点P（xp,yp）旋转α角度，需要通过以下三个步骤实现：（1）平移变换：将旋转中心平移到坐标系原点，变换矩阵为：[T1]=[100010−xp−yp1](2)旋转变换：将图形绕坐标系原点旋转α角度，变换矩阵为：[T2]=[cosαsinα0−sinαcosα0001](3)平移变换：将旋转中心平移到原来的位置，变换矩阵为：[T3]=[100010xpyp1]因此，绕任意点P的旋转变换矩阵为：[T]=[T1][T2][T3]=[100010−xp−yp1][cosαsinα0−sinαcosα0001][100010xpyp1]=[cosαsinα0−sinαcosα0xp(1−cosα)+ypsinα−xpsinα+yp(1−cosα)1]例：三角形绕点（5,25）做二维旋转变换，旋转角度为逆时针30°[T]=[T1][T2][T3]=[100010−5−251][cos30sin300−sin30cos300001][1000105251]=[√32120−12−√32075−5√3245−25√321]二、相对于任意直线的旋转变换：平面内任意直线ax+by+c=0在x轴和y轴上的截距分别为-ca和-cb,直线与x轴的夹角为α=arctan（-ab）相当于任意直线的对称变换需要通过以下三个步骤实现：（1）平移变换：将直线和图形平移使其通过原点（这里沿x轴平移），变换矩阵为：[T1]=[100010ca01](2)旋转变换：将直线和图形一起旋转使其与某坐标轴重合（这里按顺时针绕原点旋转与x轴重合），变换矩阵为：[T2]=[cos（−α）sin（−α）0−sin（−α）cos（−α）0001]=[cosα−sinα0sinαcosα0001]（3）对称变换：将旋转后的图形相对于某坐标轴作对称变换（这里对x轴），其变换矩阵为：[T3]=[1000−10001]（4）旋转变换：将对称变换后的图形按逆时针绕原点旋转，使其回到原来与x轴成α角的位置，变换矩阵为：[T4]=[cosαsinα0−sinαcosα0001]（5）平移变换：将图形从原点反向平移，使其回到原来的位置，变换矩阵为：[T5]=[100010−ca01]通过上述5个步骤，即可实现图形对任意直线的赌场变换，复合变换矩阵为：[T]=[T1][T2][T3][T4][T5]=[cos2αsin2α0sin2α−cos2α0(cos2α−1)ca(sin2α)ca1]