3.2.1-直线的方向向量和平面的法向量

边城高级中学张秀洲1、理解直线的方向向量，平面的法向量．2、能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位置关系．自学教材P102—P104解决下列问题一、能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系.二、《教材》P104练习.平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.前面,我们把在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？OP⑴点怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？⑵直线aABP()APtatR点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。a此方程称为直线的向量参数方程(1OPOAtaOPxOAyOBxy或）⑶平面POba⑶平面PObaOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n⑷法向量法向量：若，则叫做平面的法向量。aa●Aa过点A，以为法向量的平面是完全确定的a给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α,记作⊥α,如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量.nnnnn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmlnn因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bab；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v0.uvl⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv画出图形意会以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.lmabml//baba//lua//l0uauauv//vuvu//lambml0babaluuaua//lauv0vuvulamb，的夹角为ml,||coscos,||||ababablambula，的夹角为,l||sincos||||auauauulauv，的夹角为,||coscos||||uvuvuvuv，的夹角为,||coscos,||||uvuvuv2019年12月25日星期三二、完成P94练习1、2.教材P104练习1：设直线l1，l2的方向向量分别为，，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：ab)2,3,2(),2,2,1()2(ba)6,3,6(),2,1,2()1(ba)3,0,0(),1,0,0()3(ba平行垂直平行设平面，的法向量分别为，，根据下列条件判断，的位置关系：uv)4,4,6(),5,2,2()1(vu)4,4,2(),2,2,1()2(vu)4,1,3(),5,3,2()3(vu教材P104练习2：垂直平行相交的一个单位法向量。求平面已知点ABCCBA),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3(,1.),0,1,1(),1,0,1(,,2的大小。所成的锐二面角的度数求这两个平面的法向量分别是若两个平面vu练习3:在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量?在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)axyzbxyz⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.2019年12月25日星期三你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？必做题：《教材》P111-P113A组1次2019年12月25日选做题：《教材》P113B组【预习】课本P105-P110《立体几何中的向量方法》