数学精讲01

GCT考点精讲班-数学初等数学-算术算术—内容综述1．数的概念：整数、分数、小数、百分数等等．2．数的运算（1）整数的四则运算（2）小数的四则运算（3）分数的四则运算*3．数的整除：整除、nlkmm、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数、1111nnnmmnmm公约数、最大公约数、互质数、最简分数4．比和比例比例、acbd正比例关系、akb()akb反比例关系等abk()kab典型例题—数的概念与性质例7-1．（2003）记不超过10的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）．A．2B．3C．4D．5答：C．分析：由于不超过10的质数只有四个，即2,3,5,7，它们的算术平均数为M23574.254，所以与M最接近的整数是4．故正确选项为C．例7-2．（样题）某人左右两手分别握了若干颗石子，若其左手中的石子数乘以3加上其右手中的石子数乘以4的和为29，则此人左手中的石子数是奇数，还是偶数？A．奇数B．偶数C．无法确定D．无石子答：A．分析：设此人左手中的石子数为x，右手中的石子数为y，根据题中条件可知3429xy，即3294xy．由于4y是偶数，所以3x是奇数，从而x也必是奇数．故正确选项为A．例7-3.（2011）设2345673333333S，则S被4除的余数是（）.A.3B.2C.1D.0答C．分析本题主要考查了简单整数的除法及余数的概念．由于23456723456733333333(33)(33)(33)S2463232323，且2463,3,3除以4的余数均为1，所以S除以4的余数也为1．例7-4．如果正整数n的15倍除以10的余数为5，那么n的最末一位数字不可能为（）．A．1B．3C．5D．6答：D．分析：根据题中条件可知，1551010nk，即15105nk．由于105k的个位数是5，所以n的个位数与5相乘所得数的个位数也是5．在题中所给的四个数目中，只有6与5相乘所得数的个位数不是5，故正确选项为D．例7-5．从不超过10的质数中任取两个分别相乘和相除，不相等的积和商个数分别是（）．A．6,12B．12,6C．10,20D．20,10答：A．分析：不超过10的质数共有2,3,5,7四个，由于乘法运算满足交换律，所以任取两个相乘共得到2443621C个不同乘积．同样，由于除法运算没有交换律，所以两个不同的数作除法运算会得到两个不同的商，因此从2,3,5,7中任取两个数相除共得到244312A个不同的商．综上可知正确选项为A．例7-6.在1到100的整数中，能被3或5整除的共有A.6个B.33个C.47个D.53个答：C．分析：在1到100的整数中，能被3整除的有33个，能被5整除的有20个，既能被3又能被5整除的有6个，所以能被3或5整除的共有3320647（个）．例7-7.如果几个质数的乘积为650，那么它们的平方之和为A．25B．26C．223D．224答：C．分析：因为65025513，故所求之和为222225513223．典型例题—分数、比、百分数例10-1．（样题）方程21220111xxx的根的个数为()．A．0B．1C．2D．3答：A．分析：由于22212212(1)2(1)3011111xxxxxxx，所以方程21220111xxx没有解，即其根的个数为0．故正确选项为A．例10-2．设,,abm均为大于零的实数，且ba，则（）．A．ambmabB．ambmabC．ambmabD．ambm与ab的大小关系与m有关答：A．分析：法1：由于()()amambabmbbbm，根据题中条件可知0amabmb，即ambmab．法2：由于ambm与ab都大于零，且ambabbmbmaabam，所以在题中条件下有1ambbma，即ambmab．法3：考虑函数()1axabfxbxbx，由于2()0()bafxbx,所以函数()fx在[0,)上是单调递增的，故()(0)fmf，即ambmab．例10-3.（2011）若20ab，10bc，则abbc的值为（）.A.1121B.2111C.11021D.21011答D．分析因为20ab，10bc，所以12012101111110aabbcbcb．例10-4.（2007）图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形．其中位于在角上的3个长方形的面积已经标出，则第4个角上的小长方形面积等于（B）．A．22B．20C．18D．11.25分析：设第4个角上的小长方形面积为x,将这四个角上的4个小长方形平移拼在一起，显然有比例关系式：91512x，解得20x．故选（B）．例10-5．（2004）甲、乙两种茶叶以xy：（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨0010，乙种茶价格下降0010后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则xy：等于（）．A．1:1B．5:4C．4:5D．5:6答：C．分析：在甲、乙两种茶的价格变化前后每斤成品茶的价格分别为5040xy（元）和0000(505010)(404010)xy（元），根据题意可知5040(50500.1)(40400.1)xyxy，解得45xy．故正确选项为C．例10-6．（2010）若某单位员工的平均年龄为45岁，男员工的平均年龄为55岁、女员工的平均年龄为40岁，则该单位男、女员工人数之比为（）．A．2:3B．3:2C．1:2D．2:1答C．分析：假设男员工人数是x，女员工人数是y．根据题意可知45()5540xyxy．所以2yx，即12xy．所以男、女员工的人数之比为1:2．例10-7．（2003）某工厂二月份产值比一月份的增加0010，三月份比二月份的减少0010，那么（）．A．三月份与一月份产值相等B．一月份比三月份产值多199C．一月份比三月份产值少199D．一月份比三月份产值多1100答：B．分析：设一月份的产值为a，则二月份的产值为00101.1aaa，三月份的产值为001.11.1100.99aaa，所以一月份的产值比三月份的产值多0.9910.9999aaa．例10-8（2006）一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（）升．A．2.55B．3C．2.45D．4答：B分析：根据题意，1010100.4910aaa，即2(10)49a，解得3a．例10-9.（2010）若某公司有10个股东，他们中任意6个股东所持股份的和都不少于总股份的0050，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是（）．A．0025B.0030C.0035D．0040答A．分析：不妨设12910aaaa≤≤≤≤.因为0012650aaa≥，007895aaa≥2，所以001025a≤.特殊法：设12910aaaa===≤.因为0012650aaa≥，所以001295aaa≥7，从而001025a≤.例10-10．若某公司2008年6月份的产值是1月份产值的k倍，则该公司上半年的月产值平均增长率是（）．A．6kB．61kC．5kD．51k答：D．分析：设该公司一月份的产值为a、上半年的月产值平均增长率是x，则该公司二月份的产值为(1)aaxxa．类似地可以得到其六月份的产值为5(1)xa，根据题意可知5(1)xaka，解得51xk．故正确选项为D．典型例题—算术表达式求值例7-1．（2003）1111111(1)iiiii（）．A．10B．11C．12D．13分析：因为1111123456789101111(111)662ii，1111(1)1234567891011(12)(34)(56)(78)(910)116iii，所以原式66116．故正确选项为B．例7-2．（2006）11111111223344556677248163264（C）．A．1530816B．3130832C．6330864D．127308128分析：11111111223344556677248163264111111(11223344556677)248163264611(1177)7163632308308122646412．例7-3．（2007）2222222222012345671234567891022222222的值是（B）A．1151B．1151C．2251D．2251分析：因为22(1)2121kkkk，所以222222222201234567(12)(34)(56)(78)(910)2222222283711151955112555121．例7-4.（2009）2201020081(135791113)（）．A．41B．49C．1681D．2401答：C．分析：22201020081(20091)(20091)1(135791113)(77)222009(41)168149．例7-5.（2010）33333333333324681012369121518（）．A．827B．827C．49D．94答A．分析：由于()kkkabab，所以333333333333333333333333246810122(123456)8273691215183(123456)．例7-6．（2012）若n是大于100的正整数，且12312!3!4!!nMn，则M所在的区间是（）．A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答D．分析因为12312!3!4!!nMn21314112!3!4!!nn1111111(1)()()()2!2!3!3!4!(1)!!nn111!n，所以正确选项为D．例7-7．（2008）请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于（）．A．12B．1C．32D．3分析：设所想的数为x，则根据题意的2(5)4(5)232xxxx．故正确选项为D．典型例题—平均值例2-1．（2008）五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15，这五个数的平均值是（）．A．18.8B．8.4C．5.6D．4.2分析：根据题意可知所求的平均值为345678111213154.245．故正确选项为D．例2-2．某公司共有员工50名，业绩考核平均成绩为81分，按成绩将公司员工分成优秀和非优秀两类，优秀员工的平均成绩为90分，非优秀员工的平均成绩为75分．优秀员工的人数是（）．A．15B．20C．30D．35答：B．分析：设该公司优秀员工的人数为x，则非优秀员工的人数为50x．根据题意可知9075(50)8150xx，解得50(8175)2015x．故正确选项为B．典型例题—植树问题例2-1．（2003）1000米大