数控机床非齐次泊松过程模型参数的免疫克隆极大似然估计

数控机床可靠性模型参数的免疫克隆极大似然估计摘要：极大似然法是数控机床可靠性模型参数估计的常用方法之一，通常利用迭代法以求解方程组的形式获得参数估计值，但当模型参数超过两个时，迭代法求解困难。为实现多参数可靠性模型的参数估计，提出了模型参数的免疫克隆极大似然估计法。将参数估计问题转化为带有约束的优化问题，以负对数似然函数最小为目标函数进行优化，获得了模型参数和可靠性指标的最优极大似然点估计和区间估计。以改进的非齐次泊松过程模型为例进行验证，结果表明免疫克隆算法收敛速度快，计算准确度高，为可靠性模型的参数估计提供了一个有效的新方法。针对迭代法难于求解三参数幂律过程模型参数的极大似然估计问题，提出了基于免疫克隆算法的可靠性模型参数估计法。推导了计算模型参数和可靠性指标最优极大似然点估计的数学公式，给出了模型参数优化求解的数学模型。实例验证表明，该算法可获得模型参数的全局最优解，收敛速度快，为可靠性模型的参数估计提供了一个有效的新方法。关键词：数控机床;非齐次泊松过程;可靠性模型;免疫克隆算法;极大似然估计数控机床是复杂的可修机电系统，受机床工作环境、操作人员的熟练程度及维修策略等诸多因素的影响，系统故障间隔时间一般非独立同分布[1]。因此，最小维修情况下，将机床故障过程视为随机点过程，利用非齐次泊松过程(NHPP)理论建立可靠性模型成为分析机床等可修系统可靠性的一种有效方法。文献[2,3]利用NHPP理论分别分析了水泵的故障强度和发动机的寿命可靠性，验证了模型的有效性。王智明等[4]基于NHPP的幂律过程建立数控机床最小维修的可靠性评估模型，得出当故障间隔时间呈现出明显的上升或下降趋势时，NHPP模型更适合描述数控机床的故障过程。崔毅勇等[5]利用NHPP理论分析了航空机载可修产品的使用可靠性，并得出了该机载产品的一般故障统计规律。为使模型更符合工程实际，杨绍奎等[6]在幂律过程模型的基础上，提出改进的非齐次泊松过程模型，分析了坦克装甲车辆某分系统的故障，准确地得到了系统初始时刻的故障强度。但该模型参数的求解成为工程应用中的另一难点，传统的利用迭代法以求解方程组的方式获得模型参数的极大似然估计不再适用。鉴于此，本文提出了可靠性模型参数的免疫克隆极大似然估计法。将参数估计问题转化为函数优化问题，通过模拟生物免疫系统的克隆选择过程对目标函数进行优化，进而得到模型参数和可靠性指标的最优极大似然点估计和区间估计。该算法优化目标函数无需连续、可微等苛刻的条件，具有较高的计算效率和准确度。通过以改进的非齐次泊松过程模型为例，说明了方法的可行性。1.改进的非齐次泊松过程模型幂律过程(PowerLawProcess,PLP)是比较常用的非齐次泊松过程(NHPP)之一，适合描述可修复机械系统的故障过程。但该模型在形状参数不为1时，初始时刻故障强度或为零或为无穷大，这与实际情况不符，因此，杨绍奎[6]等提出改进的非齐次泊松过程模型，其故障强度函数定义为当0t时，0(0)，该值即反映数控机床初始时刻实际的故障强度。则直至时间t，系统的期望故障数，即累积故障强度函数为2.模型参数和可靠性指标的免疫克隆极大似然点估计2.1模型参数的极大似然点估计设单台数控机床在故障观察区间(0,]T内的故障发生时刻为t1,t2,…tn，当ntT时为时间截尾试验，当tn=T时为故障截尾试验，那么故障时间it的条件概率密度函数1()iiftt为：那么单台数控机床故障时间的似然函数为对式(4)两端分别取对数，得到相应的对数似然函数为对于m台数控机床，其似然函数及对数似然函数分别为式(7)中，Tj为第j台数控机床的截尾时间(1,2,,jm)；jn为第j台数控机床在故障观察区间(0,T]内发生的故障数；,jit为第j台数控机床第i个故障的发生时间。通常情况下，模型参数的极大似然估计可通过对式(7)各参数求一阶偏导数，并令其为零，得到方程组后采用迭代的方法获得，但该方法需要设定初值并反复进行迭代，若初始值选择不合理，很可能会陷入局部极值。而且，随着模型参数的增加，该方法计算过程复杂且效率低，有时甚至无法求解。因此，将式(7)取负数并最小化作为目标函数，将参数估计问题转化为带有约束的优化问题，利用智能优化算法进行求解，不失为一个好的选择。因此，对式(7)中参数0,分别求一阶偏导数，并令其为零，可得将式(8)、式(9)两边分别乘以0ˆˆ,，再代数相加可得那么模型参数0ˆ为将式(11)代入式(7)，则可获得含有两个未知参数的对数似然函数为若式(12)成立，需满足约束条件为因此，在式(13)成立的前提下，将式(12)取负数并最小化并作为目标函数进行优化，即可求出模型参数ˆˆ,，再将其代入式(11)，即可求出模型参数0ˆ。2.2基于免疫克隆选择算法的模型参数求解根据2.1节的推导，可以得出模型参数求解问题的数学模型(优化模型)可描述为：问题：负对数似然函数最小，即min(ln)L约束条件：不难看出，上述优化过程包含多个约束条件，因此在利用智能优化算法求解的过程中算子的设计会相对复杂，需寻求一种简单而高效的算子来实现优化。人工免疫克隆选择算法作为一种现代启发式的智能优化算法[7]，由于其涉及到的操作算子只有克隆变异算子，实现简单易行，且具有较强的鲁棒性，适用于解决带有约束条件的非线性数值优化问题。因此，本文采用免疫克隆选择算法对模型参数的极大似然估计进行优化计算。免疫克隆选择算法基本流程[8]如图1所示。该算法的主要步骤为：(1)初始化：种群规模设为N，克隆规模设为M。克隆变异率设为Pm。(2)随机产生初始抗体群，并在满足完备性、健全性和非冗余性要求的条件下对抗体进行编码。(3)计算适应值：计算抗体和抗原之间的亲和度，即为计算目标函数(-lnL)的适应值。(4)克隆扩增、选择和变异：选择和抗原亲和度最高的n个抗体，并对所选抗体进行克隆扩增、变异及选择操作，将变异后的抗体群中亲和度最低的m个抗体用该群中随机产生的m个抗体替换，则形成新一代的抗体群，克隆算子操作流程如图2所示。(5)终止条件判定：当终止条件满足时，退出并输出结果，否则返回步骤(3)继续计算。2.3可靠性指标的极大似然点估计在模型参数求出后，机床可靠性指标的极大似然估计即可求解。则诸如瞬时故障强度()t、平均累积故障数()Mt、瞬时平均故障间隔时间IMTBFt、累积平均故障间隔时间CMTBFt、给定时刻的可靠度()Rt等机床可靠性指标的极大似然估计分别为：3.模型参数及可靠性指标的区间估计由于利用参数极大似然估计的渐近正态分布特性求置信区间可能会产生负的置信下限，因此，本文利用渐近对数正态分布的特性对置信区间进行求解。则模型参数或可靠性指标的置信区间求解公式为：式中，ˆ为待估参数或可靠性指标，2为置信度为1001%的标准正态分布的分位数，ˆˆ为待估参数或可靠性指标的估计标准差，ˆˆˆvar，ˆvar为待估参数或可靠性指标的方差。因此，可将求置信区间的问题转化为求模型参数或可靠性指标的方差。根据Fisher信息矩阵法[9]，模型参数0ˆˆˆ,,的方差和协方差可由逆Fisher矩阵给出，即：其中，对式(7)中各模型参数求二阶偏导数得根据delta法[10]，系统累积故障强度的方差为：将上式中()Mt用IMTBFt等其它可靠性指标代替，即可求出相应可靠性指标的方差。再结合模型参数的方差及协方差，则可求出可靠性指标的置信区间。4.实例应用收集到某机床厂生产的处于耗损期的2台数控机床故障数据37个，该现场试验为故障截尾试验，故障发生的时间如表1所示：对于改进的非齐次泊松过程模型，若采用迭代的方法求模型参数的极大似然估计，需通过对式(7)中各参数求一阶偏导数，并令其为零，得到一个含有三个方程的方程组，通过求解方程组的形式获得模型参数。但该方程组没有封闭形式，求解比较困难。因此，尝试采用本文提出的免疫克隆选择算法对模型参数进行计算。选取参数个体搜索空间为30位编码空间，种群规模为200，克隆规模为20，变异率为0.005，进化代数为500代，经过20次计算后，选取最优结果。计算结果如表2所示。表2免疫克隆算法单独运行20次后的统计结果从表2可以看出，免疫克隆算法的收敛速度较快，大约需要15s左右即可完成计算，初步说明可以采用本文方法求解模型参数。但求解的准确度如何，可通过模型的拟合效果进行验证。定义拟合优度评价指标[11]为：式中，iN为i时刻理论平均累积故障数，ˆiM为估计累积故障数。R值最大为1，该值越大，说明模型拟合效果越好。从表2可以看出，模型拟合优度指标R值较大，说明模型拟合较好，同时也间接地说明了免疫算法的计算精度较高。由形状参数ˆ=1.31可知，机床正处于耗损故障期，故障强度有增大的趋势，故障强度曲线如图3所示。系统初始时刻故障强度为-50ˆ=3.9310，说明机床在数据采集初始时刻有发生故障的可能，但该值相对较小，这可能是因为机床刚刚经历过大修的缘故。将模型参数计算结果分别代入式(14)~式(18)，即可求出累积故障数、瞬时平均故障间隔时间及累积平均故障间隔时间等可靠性指标的点估计，再根据式(19)~式(21)，即可求出区间估计。计算结果如表3所示。可靠性指标曲线如图4所示。由表3可以看出，在机床运行至7511.75h时，累积平均无故障工作时间为375h，但瞬时平均无故障工作时间仅有287h，建议尽快采取措施安排检修，以防机床在工作中突然停机，给企业生产效率和效益带来负面的影响。5.结论在对数控机床可靠性进行评估时，为使模型更加符合工程实际，往往通过增加模型参数的方式将一些影响因素考虑到模型中，但模型优化的同时也增加了模型参数求解的难度，传统的利用迭代法求解模型参数的极大似然估计不再适用。因此，本文将参数估计问题转化为优化问题，提出基于免疫克隆选择算法的模型参数求解方法，并以改进的非齐次泊松过程模型评价两台同型数控机床的可靠性为例进行验证，计算结果表明免疫克隆算法具有较强的鲁棒性，收敛速度快，计算准确度高。该算法同样适用于4参数及以上可靠性模型参数的求解，为多参数可靠性评估模型的参数估计提供了一个新的思路。