李心灿(给中学教师版)数学与创新思维

数学与创新思维北京航空航天大学李心灿引言全国科技大会上指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。”“建立创新型国家。”教育部的一个报告指出：“实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。”恩格斯指出：“一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”创造性人才的创造活动是在相应的创造性思维的支配下，所进行的一种积极的能动的活动。创造性思维是一切创造活动的核心和灵魂。R·培根指出：“数学是打开科学大门的钥匙。”H·G·格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。”N·A·考特认为：“数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。”K·L·米斯拉指出：“数学是代表人类抽象思维方面的最高成就和胜利。”著名的数学家A·赛尔伯格指出：“……数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。”塞尔伯格著名数学家J·P塞尔指出：“关于学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，而不是僵死的，讲数学的传统方法有个缺陷，即教师从不提及这类问题，这很可惜。在数论中有许多这类问题，十几岁的孩子就能很好地理解它们：当然包括费马大定理，还有哥德巴赫猜想，以及无限个形如n2+1的素数的存在性。你可以随意讲一些定理而不加证明塞尔因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。讲五个问题一、归纳思维二、类比思维三、发散思维四、逆（反）向思维五、（数学）猜想我将结合初等数学、高等数学和数学史上一些著名问题来讲一、归纳思维归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法…牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。”“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。”著名数学家沃利斯说：“我把（不完全的）归纳和类比当作一种很好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易发现一般规律．”归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算……,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。归纳的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素数*。10，20，30都是偶数。是否两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……这样下去总是对的吗？即任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？大于4的偶数=奇素数+奇素数？（哥德巴赫猜想）60=3+57（57=19×3，不是素数）60=5+55（55=11×5，不是素数)？！60=7+53（7和53都是素数）…….一直到现在还没有一个人推翻它，但也还没有一个人证明它。哥德巴赫提出这个问题时，欧拉在1742年6月30日的回信中说：他相信这个猜想，但他不能证明。于是引起了很多人研究它，但在120年间，一直没有多大进展。直到20世纪20年代，才开始有了眉目，挪威数学家布朗（V.Brun）用“筛法”证明了：任何一个大于4的偶数：A=[a1×a2×…×a9]+[b1×b2×…×b9],(9+9)其中ai,bi(i=1,2,3…9)都是素数，才为这个猜想的证明开辟了道路。1924年拉德马哈尔证明了（7+7）；1932年爱斯尔曼证明了（6+6）；1938年布赫斯塔勃证明了（5+5）,1940年又证明了（4+4）；1956年维诺格拉多夫证明了（3+3）；1956年王元证明了（3+4）；1957年王元证明了（2+3）；1962年潘承洞证明了（1+5）；同年王、潘又证明了（1+4）；1965年布赫斯塔勃、维诺格拉多夫、庞比利证明了（1+3）；1966年陈景润证明了（1+2）；(发表在《中国科学》(1973.P.111-128)1.吴文俊说：哥德巴赫猜想是一场攻坚战和接力赛。2.解放后，华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础。3.王元1956年证得：大偶数=3+4；1957年又得出：大偶数=2+3。4.潘承洞1962年证得：大偶数=1+4。5.陈景润1966年证得：大偶数=1+2；1972年潘、王、丁夏畦简化了陈的证明。苏步青说：要想取得1+1就得把世界上八十多种方法融会贯通，博取众长。1998年利用超级计算机，验证这个猜想对于每一个小于4×1014的偶数都是正确的。但没有一项计算技术可以对直至无穷的每一个偶数确认这个猜想成立。关键是要找出一个抽象严格的证明。这是数学向人类智慧的挑战!这个猜想吸了不少人,2000年3月中旬：英国一家出版社悬赏100万美元征“哥德巴赫猜想”之解，时限两年,截止日期定在2002年3月20日。(奖金比中国最高科学奖还高、Nobel奖)二项式系数(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=…….(u+v)n=12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形111121133114641151010511615201561宋朝数学家杨辉1261年写的《详解九章算法》*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。杨辉三角形科尔莫哥洛夫在《我是如何成为数学家》中说：我在6、7岁时我已经感受到数学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边的等式：......?1197531?97531,47531,3531,231,112222他的这个发现，后来被刊登在《春燕》杂志上。.2nn个奇数的和等于前问题：考察表33333333436427161514131211103227898765218143210101按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23()24(四边形内角和问题：下述结论是否成立？?)2(nn边形内角和等于在高等数学中，许多重要结果的得出，都用到了归纳思维。例如：求某一函数的n阶导数，通常的方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出n阶导数的表达式。.)(,)1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解2)1(1)(xxf......,)1(!3)1()(,)1(!2)1()(43)4(32xxfxxf从而归纳出nnnxnxf)1()!1()1()(1)(并且，有任意阶的导数设函数例)(:2xf2)()(xfxf.)()(xfn求解因为32)]([2)]()[(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf,)]([!3)]()([32)(42xfxfxfxf.)(!)(1)(nnxfnxf因而归纳得到二、类比思维著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：著名天文学、数学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘……。”著名数学家、教育学家波利亚说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”在平面解析几何中直线的截距式是：1xyab;1czbyax在平面解析几何中,两点的距离是：222121()()yyxx在空间解析几何中,两点的距离是：222212121()()()yyxxzz在空间解析几何中平面的截距式是：在平面解析几何中圆的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2在空间解析几何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。②(n)(n)(n-1)(n-2)()uv)uvuv,uv)uv2uvuv,uv)uv3uv3uvuv,(1)uv)uvuvuv...2!knknnnnCu因为（（（从而可以归纳出（()0.nkkv莱布尼茨公式将他们比较可以看出:把①中右端K次幂换成K阶导数(零阶导数理解为函数本身),把①中u+v换成uv,n次幂换成n阶导数既为②.(拉格朗日17岁)牛顿二项式展开公式1222332230()()2()33()Cnnknkknkuvuvuvuuvvuvuuvuvvuvuv……①费马猜想：X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整数，nm;X3+Y3=Z3是否有正整数解？X4+Y4=Z4是否有正整数解？Xn+Yn=Zn,n2是否有正整数解？ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z为正整数)=====zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n2)(Wiles1994)欧拉猜想：下述方程没有整数解：4444wzyx没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：44442061567318796760153656392682440后来人们又发现了一个更简单的例子：444442248141456021751995800今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例．在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！多元函数与单元函数在学习多元函数的微分学和积分学时，应注意与已经学习过的一元函数的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。例如：特别应该将牛顿——莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿——莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba视为，它建立了一元函数f(x)在一个区间的定积分与其原函数F(x)在区间边界的值之间的联系；通过类比，就可将格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上的二重积分与其“原函数”在区域边界L的曲线积分之间的联系；通过类比，就可将高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPS视为，它建立了三元函数在一个空间区域上的三重积分与其“原函数”在区域边界曲面S上的曲面积分之间的联系；通过类比，就可将斯托克斯公式RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRLS视为，它建立了三