预初奥数不等式的应用题解析

【例1】某景点的门票是10元/人，20人以上(含20人)的团体票8折优惠，现在有18位游客买了20人的团体票．(1)问这样比买普通个人票总共便宜多少钱？(2)问：当不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？【解析】依题意得：(1)181020100.820´-´´=(元)(2)可设x人买20人的团体票才比普通票便宜，则1020100.8x´´解这个不等式得：16x，即17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜．【答案】(1)20元；(2)17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜【例2】暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)xxx+ìí+-î，解得256260xxìíî答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例3】商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？【解析】设进价为a元，按原定价售出x件，节日让利售出y件(0100y£)．依题意有125%125%(1axay××+×××-10%)(1000)125%60%1000xyaa+--×××，整理得432000xy+，由于0100y£，所以425x，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件【例4】今有浓度分别为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、35克，现要配制浓度为7％的盐水l00克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【解析】设甲，乙，丙三种盐水分别取x，y，z克，可配成浓度为2％的盐水l00克，则1005897100xyzxyz++=ìí++=´î％％％％，即100589700xyzxyz++=ìí++=î由题目中的限制，可知060x££，060y££，035z££由方程组得2004yx=-，3100zx=-，代人到约束条件中，有02004600310047xx£-£ìí£-£î解这个不等式组，得3545x££，甲盐水最多用45克，最少用35克．【答案】甲盐水最多用45克，最少用35克．【例5】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x人，检票速度为每个检票口每分钟检票y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口依题意得3030(1)10210(2)55(3)axyaxyaxny+=ìï+=´íï+£×î(2)×3－(1)，得15ay=代入(1)便得30ax=再把所求的x、y代入(3)便有63aaan+£×因为0a，所以11163n+£×即3.5n³n取最小的整数，所以4n=答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例6】某城市平均每天产生生活垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理．若甲厂每时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每时可处理垃圾45吨，需费用495元．(1)甲、乙两厂同时处理该城市的生活垃圾，每天需多长时间才能处理完？(2)如果规定该城市每天用于处理生活垃圾的费用不超过7260元，那么甲厂每天至少应处理垃圾多长时间？【解析】(1)设每天需x小时才能处理完垃圾，由题意，得()5545700x+=∴7x=，答：每天需7小时才能处理完垃圾(2)设甲厂每天至少处理x小时，乙厂每天处理垃圾y小时，则55457005504957260xyxy+=ìí+£î解得：8x≥答：甲厂每天至少处理垃圾8小时【答案】8小时【例7】海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：品名规格(米)销售价(元/条)羽绒被22.3´415羊毛被22.3´150现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条？【解析】付款总额不超过2万元即购买羽绒被的钱+购买羊毛被的钱＜2万元，故得不等式．设购买羽绒被x条，则购买羊毛被()80x-条，根据题意，得()4151508020000xx+-≤．整理，得2658000x≤．解之，得103053x≤．∵x为整数，∴x的最大整数值为30．答：最多可购买羽绒被30条．【答案】30条【例8】义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知2005年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：(1)2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？(结果精确到0．1％)(2)为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4％，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？(假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位)【解析】(1)设年平均增长率为x，根据题意得：()2728931114508x+=解得120.25262.2526xx»»-，(不合题意，舍去)∴所求的年平均增长率约为25.3%．(2)设每年新增汽车为x辆，根据题意得：()()11450814%14%158000xx-+-+éùëû≤解得26770.12x≤∴每年新增汽车最多不超过26770辆【答案】每年新增汽车最多不超过26770辆【例9】某人到花店买花．他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合．发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合．这样他还剩了2元多钱．请你算一算，2支玫瑰和3支百合哪个价格高？【解析】设一支玫瑰x元，1支百合y元，则63244522xyxy+ìí+î即12648121566xyxy+ìí+î，∴918y，2y，同理3015120121566xyxy+ìí+î∴1854x，3x，于是263xy．故2支玫瑰的价格高于3支百合．【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合．【例10】福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？【解析】（1）设应安排x名工人制作衬衫，由题意得：()3524xx=´-∴15x=∴2424159x-=-=答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子．（2）设应安排y名工人制作衬衫，由题意得：()330516242100yy´+´´-≥∴18y≥答：至少应安排18名工人制作衬衫．【答案】（1）应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子；（2）至少应安排18名工人制作衬衫．【例11】某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1)为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)？(2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1)设企业每套奖励x元，由题意得：20060%150450x+´≥．解得：2.78x≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；(2)设小张在六月份加工y套，由题意得：20051200y+≥，解得200y≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例12】某大商场，在国庆期间举行商品大酬宾销售活动，准备分两次降价．现有三种方案，甲：第一次降价%p，第二次降价00q；乙：第一次降价00q，第二次降价00p，丙：两次都降价002pq+．试问哪一种方案受顾客欢迎．()pq【解析】第一次和第二次最后是一样的，价格都是原来的()()1%1%pqA--=第3次的价格是原来的1%1%22pqpqB++æöæö--=ç÷ç÷èøèø()22%%%%%%022pqpqBApq-éù+éù-=-=êúêúëûëû所以A的价格比B便宜，而由于甲方案第一次降价比乙方案第一次降价的多所以相对来说甲方案最受欢迎．【答案】相对来说甲方案最受欢迎．【例13】2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买AB，两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：(1)共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱？【解析】(1)由题意：()()6001201550001152xxxx+-ìïí-ïî≤≥解得：2053x≤≤∵x为整数，∴56x=，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200´+´=(元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张（2）第一种方案省钱【例14】开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．⑴求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴设每支钢笔x元，每支笔记本y本．3182531xyxy+=ìí+=î，∴35xy=ìí=î．⑵设购买钢笔a支，笔记本b个．4835200ababba+=ìï+íïî≤≥，∴2028abìíî≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24ab=ìí=î．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．（5）五种方案：20,21,22,23,2428,27,26,25,24ab=ìí=î【例15】某钱币收藏爱好者，想把3.5元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分硬币。请你据此设计兑换方案。【解析】设兑换的1分、2分、5分的硬币数分别为xzy，，，则依题意有15025350202020xyzxyzzyxyz++=ìï++=ïíïïî①②③≥，≥，≥④。把①、②视为方程组，解得3502004xzyz=-ìí=-î代入③、④得350202004202004zzzz---≥，≥，。即4045z≤。所以4142434445z=，，，，。兑换方案是：(