构造函数解决导数问题

1导数与函数的单调性〖模型总结〗1、关系式为“加”型（1）若'()()0fxfx，则构造[()]'['()()]xxefxefxfx（2）若'()()0xfxfx，则构造[()]''()()xfxxfxfx（3）若'()()0xfxnfx，则构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx(4)若'()()()'()0fxgxfxgx，则构造)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf2、关系式为“减”型（1）若'()()0fxfx，构造2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee（2）若'()()0xfxfx，构造2()'()()[]'fxxfxfxxx（3）若'()()0xfxnfx，则构造121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx（备注：本类型仅作了解）(4)若xgxfxgxf≥0，则构造2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2口诀：1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号讨论不能忘〖教学过程〗一、真题体验真题体验Ⅰ(2015年全国新课标卷二理科数学第12题）设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当x0时，()()0xfxfx，则使得函数()0fx成立的x的取值范围是A.(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)真题体验Ⅱ（2017年淮北市第一次模拟理科数学第12题）已知定义在（0，+∞）的函数f（x），其导函数为f′（x），满足：f（x）＞0且总成立，则下列不等式成立的是（）A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π）B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e）D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）二、考点分析通过这两题及最近的模拟题我们发现：解决这类单调性问题需要借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性之间的关系来解决，那么怎样合理的构造新函数就是问题的关键，今天我们一起系统的通过“两大类型及它们蕴含的八大小类型”来探讨一下如何构造新函数解决这类问题。三、关系式为“加”型关系式为“加”型Ⅰ：若'()()0fxfx(≤0、0、0，下同)，则构造[()]'['()()]xxefxefxfx例1、设fx是定义在R上的可导函数，且满足fxfx，对于任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）3A.0afaefB.0afaefC.0affaeD.0affae试题分析：构造函数()()xgxefx，则''()()()xxgxefxefx0，∴()gx在R内单调递减，所以(a)g(0)g，即：()(0)aefaf，∴0affae.关系式为“加”型Ⅱ：若'()()0xfxfx，则构造2()'()()[]'fxxfxfxxx例2、已知函数()yfx是定义在数集R上的奇函数，且当(,0)x时，()()xfxfx成立，若)3(3fa,)3(lg)3(lgfb,)41(log)41(log22fc,则,,abc的大小关系是（）A.cabB.cbaC.abcD.acb试题分析：因为(,0)x时，()()xfxfx，所以当(,0)x时，()()0xfxfx，又因为函数()yfx是定义在R上的奇函数，所以当(,0)x时，()()0xfxfx，构造函数()()gxxfx，则()()()0,(,0)gxxfxfxx，所以()gx在(,0)上是减函数，又()()gxgx，所以()gx是R上的偶函数，所以()gx在(0,)上是增函数，因23lg30，所以(2)(3)(lg3)ggg，而21(2)(2)(log)4ggg，所以有cab，选A.关系式为“加”型Ⅲ：若'()()()'()0fxgxfxgx，则构造)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf例3、设()()fxgx、是R上的可导函数，'()()()'()0fxgxfxgx，(3)0g，求不等式()()0fxgx的解集变式1：设()()fxgx、分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当0x时，'()()()'()0fxgxfxgx，(3)0g，求不等式()()0fxgx的解集.关系式为“加”型Ⅳ：若'()()()'()0fxgxfxgx，4则构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx例4、（2016年合肥市第二次模拟理科数学第12题）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1），即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1。综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B四、关系式为“减”型关系式为“减”型Ⅰ：若'()()0fxfx，则构造2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee例5、若定义在R上的函数f(x)的导函数为()fx，且满足()()fxfx，则(2011)f与2(2009)fe的大小关系为（）.A、(2011)f2(2009)feB、(2011)f=2(2009)feC、(2011)f2(2009)feD、不能确定试题分析：构造函数xexfxg)()(，则xexfxfxg)()()(''，因为()()fxfx，所以0)('xg；即函数)(xg在R上为增函数，则20092011)2009()2011(efef，即2)2009()2011(eff.关系式为“减”型Ⅱ：若'()()0xfxfx，则构造2()'()()[]'fxxfxfxxx例6、若函数()fx在R上可导，且满足'()()fxxfx，则()A.2(1)(2)ffB.2(1)(2)ffC.2(1)(2)ffD.(1)(2)ff试题分析：设xxfxg)()(，则2)()()(xxfxfxxg，5∵'()()fxxfx，∴0)(xg，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴),2()1(gg即)2()1(22)2(1)1(ffff，故选：A．关系式为“减”型Ⅲ：若xgxfxgxf≥0，则构造2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf例7、已知函数)0)()((),(xgxgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，()()()()fxgxfxgx，且0)()(,0)3(xgxff的解集为（）A．（－∞，－3）∪（3，+∞）B．（－3，0）∪（0，3）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）试题分析：由题意()()fxgx是奇函数，当0x时，()()()()fxgxfxgx时，2()()()()()0()()fxfxgxfxgxgxgx，则()()fxgx在,0上为减函数，在0,上也为减函数，又有(3)0f，则有(3)(3)0,0(3)(3)ffgg，可知()0()fxgx的解集为3,0(3,).五、小结1、关系式为“加”型（1）若'()()0fxfx，则构造：（2）若'()()0xfxfx，则构造：（3）若'()()0xfxnfx，6则构造：(4)若'()()()'()0fxgxfxgx，则构造：2、关系式为“减”型（1）若'()()0fxfx，构造：（2）若'()()0xfxfx，构造：（3）若'()()0xfxnfx，则构造121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx（备注：本类型仅作了解）(4)若xgxfxgxf≥0，则构造：口诀：1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号讨论不能忘3、思考：我们构造的加减模型是根据导数的运算法则的加减乘除来分类构造的，大家想一想，可否把上面八类按结构来分类：按结构分类：（1）若'()()0fxfx(≤0、0、0，下同)或'()()0fxfx，则构造[()]'['()()]xxefxefxfx或2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee(2)若'()()0xfxfx或'()()0xfxfx，则构造2()'()()[]'fxxfxfxxx或[()]''()()xfxxfxfx（3）若'()()0xfxnfx或'()()0xfxnfx，则构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx7或121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx(4)若'()()()'()0fxgxfxgx或xgxfxgxf≥0则构造)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf或2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf六、拓展提高拓展提高1、定义在(0,)2π上的函数()fx，()fx是它的导函数，且恒有()()tanfxfxx成立，则（）A．ππ3()2()43ffB．(1)2()sin16πffC．ππ2()()64ffD．ππ3()()63ff试题分析()()tanfxfxx0cossin)(cos)(0cossin)()('xxxfxxfxxxfxf，又因为0cos),2,0(xx，从而有：0sin)(cos)(xxfxxf；构造函数,sin)()(xxfxF则)2,0(,0sincos)(sin)()(2xxxxfxxfxF，从而有)(xF在(0,)2π上是增函数，所以有)3()6(FF即：)3()6(33sin)3(6sin)6(ffff，故选Ｄ．