两角和与差及二倍角的三角函数公式

考纲要求考纲研读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，利用向量推导公式时，要结合图形，将所求的角用已知角表示出来，并借助诱导公式求解．研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，将问题得到简化.1．两角和与差的三角函数cos(α＋β)＝______________________(Cα＋β)；cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβcos(α－β)＝_____________________(Cα－β)；sin(α＋β)＝_______________________(Sα＋β)；sin(α－β)＝_______________________(Sα－β)；tan(α＋β)＝____________(Tα＋β)；tan(α－β)＝____________(Tα－β)．2．二倍角的三角函数cos2α＝_____________＝_____________＝____________；2sinαcosαsin2α＝___________；tan2α＝___________.3．降次公式cos2α＝_________；sin2α＝_________.cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1＋cos2α21－cos2α2其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．4．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)．1．在△ABC中，sinA·sinBcosA·cosB，则这个三角形的形状是()A．锐角三角形C．直角三角形B．钝角三角形D．等腰三角形2．若sinα＝35π2＜α＜π，tanβ＝12，则tan(α－β)的值是()A．2B．－2C.211D.15BB3．若cosθ2＝12，sinθ2＝－32，则角θ的终边所在的象限是__________．4．已知角α的终边过点(3，－4)，则cos2α＝______.＝______.5．(2010年全国)已知α为第二象限的角，sinα＝35，则tan2α第三象限－247－725考点1两角和与差的正弦和余弦例1：已知sinα＝45，α∈π2，π，cosβ＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解析：∵α∈π2，π，sinα＝45，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－452＝－35.∵cosβ＝－513，β是第三象限角，∴sinβ＝－1－cos2β＝－1－－5132＝－1213.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×－513＋45×－1213＝－3365.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.已知sinα求cosα，已知cosβ求sinβ，都要用到公式sin2α＋cos2α＝1，要注意角α，β的象限，也就是符号问题．【探究】1．已知sinα－π3＝45，α∈π2，5π6，求cosα.解：由sinα－π3＝45，α∈π2，5π6，得α－π3∈π6，π2，cosα－π3＝35，而由α＝α－π3＋π3得cosα＝cosα－π3＋π3＝cosα－π3cosπ3－sinα－π3sinπ3＝35×12－45×32＝3－4310.考点2两角和与差的正切例2：化简或求值：(1)tan15°；(2)tan42°＋tan18°1－tan42°tan18°；(3)1＋tan15°1－tan15°.解析：(1)tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°1＋tan60°tan45°＝3－11＋3＝2－3.(2)tan42°＋tan18°1－tan42°tan18°＝tan(42°＋18°)＝tan60°＝3.(3)因为1＝tan45°，所以1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝3.本题(1)体会正用(直接)公式；(2)体会逆(反)用公式；(3)创造条件(变形)逆用公式．【探究】2．计算：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝____.解析：∵tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°.移项可得：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.3考点3二倍角公式的应用例3：已知：f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a(其中a∈R)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在－π6，π6上最大值与最小值之和3，求a的值．解析：f(x)＝1＋cos2x＋3sin2x＋a＝2sin2x＋π6＋a＋1.(1)最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π6∈－π6，π2.∴－12≤sin2x＋π6≤1.∴f(x)max＝2＋a＋1，f(x)min＝－1＋a＋1，∴2a＋3＝3.即a＝0.利用二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式(二合一公式)将三角函数式由多项转化为一项是化简的最终目标．求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象．【探究】考点4三角函数公式的综合应用3．(2010年浙江)函数f(x)＝sin22x－π4的最小正周期是__.π2例4：已知函数f(x)＝2sin2π4－x－23cos2x＋3.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若f(x)m＋2在x∈0，π6上恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)f(x)＝1－cosπ2－2x－3(2cos2x－1)＝1－(sin2x＋3cos2x)＝－2sin2x＋π3＋1,∴最小正周期T＝π.∵2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)⇒kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴f(x)的单调递减区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z).(2)∵x∈0，π6，∴2x＋π3∈π3，2π3.∴－2sin2x＋π3∈[－2，－3]．即有－2sin2x＋π3＋1∈[－1,1－3]．∴f(x)∈[－1,1－3]．∵f(x)m＋2恒成立，∴m＋21－3.∴m－1－3.∴m的取值范围是(－1－3，＋∞)．【探究】cos(α＋β)3π44．已知α，β为锐角且cosα＝110，cosβ＝15，为了求α＋β的值，先要求sin(α＋β)或cos(α＋β)，你认为选_____________更好．最后求得α＋β等于______.1．本讲公式较多，对公式的掌握，一方面是熟悉各组公式间的内在联系，从整体上把握公式的特点；另一方面是要注意公式的逆用和变形．公式的应用包括：正用、反用与变用，如tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)等．2．在处理三角函数问题时，三个统一中(角的统一、函数名统一、次数统一)，角的统一是第一位．3．合一变换与降次都是常用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数．降次的目的，一方面把一个角变为原来的两倍．另外一方面是为了次数的统一．1．在对三角函数式进行恒等变换的过程中，要深刻理解“恒等”的含义，不能改变自变量的取值范围．要注意和、差、倍角的相对性，还要注意“1”的灵活应用．2．已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根．如若α∈(0，π)，则选余弦函数；若α∈－π2，π2，则选正弦函数．