法拉弟电磁感应定律的应用

126法拉弟电磁感应定律的应用我们将利用磁场产生感应电动势、产生感应电流的现象称之为电磁感应现象，法拉弟电磁感应定律就是涉及电磁感应现象的一条重要定律。26。.1Et和sinEBLV的关系当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中一定有感应电动势产生，物理学中将这种磁通的变化分为S变和B变两种类型：S变就是所谓的“切割模型”，它是与回路导体在磁场中运动产生的感应电动势相联系；而B变则是所谓的“磁变模型”，它是联系着由于磁场变化产生的感应电动势，二者产生的机理是不一样的。公式Et＝既可以用于“切割模型”也可用于“磁变模型”，是该定律的普遍表达形式；而sinEBLV则只能用于“切割模型”，是该定律的特殊表达形式，两公式的共同特点是它们都可用于感应电动势大小的计算，它们所揭示的物理过程中能量都是守恒的，其主要区别有以下四点：第一，前者的研究对象是任意的闭合电路，由公式给出的是沿闭合回路一周感应电动势的代数和；而后者的研究对象是磁场中一段切割磁感应线的导体，由该式给出的是这段导体两端感应电动势的大小。例如图1中闭合导线框abcd在匀强磁场中沿垂直磁场方向平动时，由于穿过abcd回路的磁通量未发生变化，所以线框中没有感应电动势产生。这个结论用Et解释，就是回路中0，回路中总电动势0E，因此回路中没有电流。第二，由于前者涉及到一段时间内磁通的变化，因此通过它求出的是这段时间内的平均感应电动势；而后者虽然也可以用于计算平均感应电动势(此时对应的公式为sinEBLV)，但更多的是计算瞬时感应电动势，即与瞬时速度相对应的感应电动势。第三，前者在用于“磁变模型”产生的感应电动势时，非静电力是由磁场变化引起的“感生电场力”，此时整个回路相当于电源，而后者只适用于“切割模型”，这时产生的感应电动势是与洛仑兹力相联系，就是使电荷定向移动的非静电力，切割磁感应线的段导体相当于电源。第四，从能量角度分析，前者用于“磁变模型”时，是将磁场能直接化换为电场能，后者则是外力克服磁场力做功，将其他形式能转化为电能的过程，在这个过程中磁场并没有提供能量，它只是将外力所做的功转化为电能的媒介。abcdv图12下面举二例加以说明：例1：在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一“∠”型固定金属框架，框架面与磁场垂直，其斜边与水平方向的夹角为α，一导体棒PQ始终与框架的水平边垂直，以速度V向右运动，求从O算起运动一段时间t后三角形回路中感应电动势的大小。分析：这是“切割模型”，所求瞬时感应电动势由瞬时速度给出，但须注意切割磁感应线的有效长度在不断地变化。∵tanLVt，∴2=BLV=BVtanE瞬。此题如用公式Et求解，求出的是段时间内的平均感应电动势：2tan/21tan2ttBVVsEBBVtttt，其值恰为上述E瞬的一半，这显然是由于切割磁感应线的有效长度从零到L按线性规律变化的结果。例2：半径为r的均匀带电圆环置于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，当有效地以Bt的变化增强时。①求环中感应电动势的大小；②如果将环在某处割断一点，并使断处略为分开，(如图3中的A、B)，情况又如何？分析：这是“磁变模型”，只能用Et求解。①问中的结果2BBESrtt。②问答案中环内无感应电流十分明显，然而割断环后不再形成闭合回路，此时用Et求解就显得理由不足。为此我们可以这样考虑，在磁变模型中，既然回路整体相当于电源，那么这个回路的外电阻必为零。由圆的对称性可知，圆上任意两段等长的圆弧上的感应电动势一定相等环内无纵使题目条件“使断处略为分开”可以推知，此时回路只是断开而已，它的电动势并没有变化，还是2Brt，这样A、B两点之间就有了电势差2BUErt。26。.2平均感应电动势和瞬时感应电动势平均感应电动势反映了电磁感应现象中一段时间内产生感应电动势大小的平均情况，它αPQVO图2AB图33是与时间间隔相联系的；瞬时感应电动势反映了电磁感应现象中某一时刻产生的感应电动势的大小，它是与时刻相联系的；因此E是过程量，而E瞬是状态量。E与E瞬的关系类似于力学中V和V瞬的关系；在用Et计算E时，该公式也与类似，当△t→0时EE瞬。解题中常遇到两种算法结果一致，例如“U”形导体框架单边匀速运动的问题，此时感应电动势恒定，因此E与E瞬自然一样，在计算E和利用E进行计算时还应注意以下几点：26.2.1不同区间内求E的结果不同如正弦交变电流在T04内的平均和在内求平均结果不同，这说明无论求何种变化过程中的E，都必须明确指出是对那一段时间间隔而言的。26.2.2非均匀变化过程中不能用E+EE=2初末求E刚才例1中谈到E感按线性规律变化时可用E+EE=2初末求平均感应电动势，但对于E感按非线性规律变化时的物理过程，则不能使用此法。例3：如图4，单匝矩形线圈abcd在匀强磁场B中以角速度绕中心轴OO/逆时针转动,已知12,abLadL，B的方向与转轴垂直，若从中性面开始计时，求线圈转过900角(此时线圈平面恰在纸面内)时的瞬时感应电动势和平均感应电动势。分析：如图5，当线圈自中性面转过θ角时，其切割速度sinVV，单边的1121=sin2EBLVBLL感，当090时，12=EmEBLL瞬，说明E瞬可通过公式E=BsinS求出。在求E时，仍应从Et入手，过程中磁通的变化按绝对值计算改变了12BLL，而所用的时间1222,BLLtt。这里要说明一点，我们所求的电动，势的平均值，前四分之一周期内的平均情况跟一个周期内的平均情况是一样的，于是这一结果同时也提OO/Babcd图4θOV//VVB图54供了按正弦规律变化的物理量在一个周期内的平均值与最大值间的关系为2mEE，此式用初等数学的方法是得不出来的。由于一切涉及功、热量和功率的问题都与2E有关系，所以进行相关计算时要用有效值，而由Et给出的是平均感应电动势，这时只要感应电动势的大小随时间而改变。E与有效值E就不等价，因而计算功、热量和功率时，不能用电动势的平均值。例如，某些资料中有这样一道题：如图6，在匀强磁场B中将自身质量不计、电阻为R、一端连接球m的金属杆以O为轴锉a沿竖直平面内14光滑圆弧金属轨道滑至b(Ob为金属丝)时的速率为V，，求过程经历的时间。由能量守恒方程2212EmgrmVtR，将代入后求得22242482rBBrtEmRgrV，其实这种解法是错误的，此时不能将通过Et示出的平均感应电动势代入含2E的式子中计算电功。类似的还有图7中将直径为D、电阻为R的闭合金属圆环以恒定的速率V拉入匀强磁场B的过程，外力做功不能根据22EtWtRtR来求。26.3法拉弟电磁感应定律应用举例例4：如图8：水平面上的金属杆ab可在两条平行导轨上无摩擦地滑动，匀强磁场的方向垂直轨道平面，导轨及杆的电阻不计，导轨左侧部分接有电阻126,10RR，电压表量程015V，电流表量程03A，当用水平力F=6N拉ab杆匀速运动时，两表中有一表恰指示满刻度，另一有安全使用，求此时金属杆的运动速度V。分析：这是一与恒定电流知识相的问题，在解题时需要首先确定满刻度的是哪一块电表；若电流表满刻度，则回路电流A将使R2两端的电压超出电压表的量程，因此满刻度的必定是电压表，此时的回路电流2=1.5ARUI满，而ab杆两端的电压abO图6B图7512U=E=IR+R=24V，它的产生，是恒力作用下的拉动ab杆向右切割磁感应线的结果。根据E=BLV和F=BIL可得IE=FV，即为功率与拉力功率间的相等关系。由此题能解得IEV==6m/sF。例5：如图9，金属杆MN在竖直平面内紧贴光滑导轨下滑，轨距L=0.1m，导轨上端接有电阻0.5R，导轨及金属杆电阻不计，整个装置置于B=0.5T的匀强磁场中，若杆稳定下落时的速度V=2m/s，此时每秒钟有多少焦的重力势能转化为电能？分析：解题的关键是弄清“稳定下落”的物理意义。MN自由释放时的初速度V=0，初始加速度ag，向下运动切割磁感应线，回路中产生感应电流后，杆又受到竖直向上的磁场力F的作用，由EI=RFBIL、及E=BLV可得22BLVF=R，由此可知磁场力随下落速度的增大而增大，从而使杆做加速度逐渐减小的变加速运动。图10定性地画出了杆受力大小和速度随时间变化的关系。这个变化过程的最后结果，必定是磁场力和重力大小相等时实现稳定下落，此时22BLVF=BIL=R，能量转化情况是动能不变、重力势能转化为电能并最终转化为内能，因此结果为22BP=mgV=0.02LVWR，即每秒钟有0.02J的重力势能转化为电能。例6：两要金属杆ab和cd均可沿倾角为300的光滑导轨滑动，匀强磁场B=0.5T，方向垂直轨道平面向上。两杆长度、质量、电阻均相同：L=0.2m、m=10g、R=0.1。现用力沿斜面向上拉动杆，使其沿导轨匀速运动，此时杆cd也以2m/s的速度沿导轨上升，求：①外力的大小；②ab杆的速度大小。VAR1R2Fab图8RMN图90t0tFmgBILvVm=FmgBIL合图106分析：分别作出两杆的受力图，根据题设条件有：对ab杆：01sin30FmgF……①对cd杆：02sin30Fmg……②12FFBIL……③这里的回路电流是因杆差动使得闭合回路的磁通量发生变化而产生，因此有：121222BLVVEEIRR……③这里的回路电流是因杆的差动使得回路的磁通量发生变化而产生，因此有：121222BLVVEEIRR……④解之得：0012222sin303/.2sin300.1mgVVmsFmgNBL该题还可将两杆当成整体来研究，而F1和F2，这一对等值反向的力就是系统内力而直接得出02sin300.1FmgN，此时回路感应电动势的代数和则可由EBLV相对求出，其大小也为0.3V。例7：两金属杆ab和cd长均为L，电阻均为R，质量分别为M和m(Mm)，用两根质量和电阻均不计且不可伸长的软导线将它们连成闭合电路，并悬挂在光滑、水平不导电的圆棒两侧，两金属杆都处于水平位置，整个装置置与回路平面相垂直的匀强磁场B中，若金属杆ab恰好向下匀速运动，求其运动速度V的大小。分析：由于本题未明确指出匀强磁场的具体方向，因此需要首先自行作出假设(B无论哪个方向都不会影响最后结论)。现设磁场方向垂直纸面向里，在ab杆向下、cd杆上运动时ab中产生的感应电动势1E=BLV，方向a→b；cd中产生的感应电动势2E=BLV，方向cd，二者的大小相等，由此可知，回路电流方向为abcda,其大小为300300abcdF图11300NF2mgNmgF1图12MNabcd图13712222EEBLVBLVIRRR，此时两杆相对运动同样使穿过回路的磁通量发生变化。(从磁通量变化原因的角度说明，这就是ab以上部分的磁通因圆棒前后两面变化情况相同而恰好相抵，但两棒中间部分的磁通却以2BVLt的变化率均匀减小，致使回路中产生abdca方向的感应电流)在两杆匀速运动的情况下，由于ab杆受安培力向上、cd杆受安培力向下，大小均为2=BIL=BLVFR磁，于是对ab杆：TFMg、对cd杆：TFmg(式中T为杆所受的导线的拉力)，根据2FMmg解出22MmgRVBL。本题也可以从整体法与隔离法交替使用的角度给出简便解法：从整体角度写出2TMmg后，对于金属杆ab因其受力平衡有2BLV+T=+TRMgF磁，两式联立消去T后立即可得同样的结果2M-mV=2gRBL。例8：甲、乙、丙三个线框是由同种材料的导线制成的大小相等的正方形线框，但甲线框导线较细、乙线框导线较粗、丙线框有一缺口。将它们同时从同一高度由静止释放，下落过程中经水平方向匀强磁场B，比较三线框落地时间的长短。分析