椭圆及其标准方程教学案例1

《椭圆及其标准方程》教学案例龙江县第一中学杨秀玉13136734456一、教材的地位和作用《椭圆及其标准方程》位于高中数学教材第二册第8章第1节，共3课时，本节内容为第一课时。前面学生已经学习了直线和圆的方程以及求曲线方程的的方法，这些都是学习本节内容的基础，同时本节内容又是圆锥曲线的第一节，又是以后学习双曲线和抛物线的基础，因此，具有承前启后的作用。二、学情分析高二的学生正处在身心发展的鼎盛时期，思维活跃勇于探索，初步具备了的用旧知识解决新问题的能力。但由于普通中学的学生基础较差，驾御知识的能力比较薄弱。因此，在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能达到预期的教学目的.。三、教学目标知识目标:初步掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握标准方程。能力目标:巩固求曲线方程的步骤与方法，进一步熟练用代数法研究曲线的性质，进一步培养学生化归意识和转化的能力情感目标:在和谐的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情景。四、重点难点重点：椭圆的定义及其标准方程的求解，并且在指导学生的过程中抓住数形结合的思想。难点：椭圆定义的理解，标准方程的推导。五、教法设计与学法指导教法设计：通过设问、启发、课堂训练的教学程序，采用引导发现、探索讨论、老师点评的授课方式，培养学生的学习能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片，几何画板辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围.学法指导：本节的学习要注意对椭圆定义的理解，要把握好“和为定值”与“大于F1F2”的要求，注意两种标准方程与曲线的对应关系，在求解过程中要注意焦点的位置，注意a,b,c之间的关系六、教学过程：教学环节教师活动设计意图、学生活动创设演示图片：（1）油罐车的横截面的轮廓通过对教材的再创造，为学生提供尽可能丰1．通过观察图片情境线（2）宇宙飞船的飞行轨道设问：实例图片中共同的几何图形是什么？富的知识背景，使学生经历数学知识发生发展的过程，使学生了解数学来源于实际。从而使新课的引入自然生动、易于接受。2．思考教师提出的问题引入新课引导学生：从熟悉的曲线开始研究，引导学生类比圆和椭圆，联想圆的定义（注意定义中的关键词），为得出椭圆的定义打下基础。实验操作：将一根无弹性的细绳的两端用图钉固定在纸板上，用笔尖将绳拉紧，并沿细绳运动，所得的图形上的点满足什么条件？如果调整两图钉之间的相对位置，所得图形有何变化？（在操作过程中，引导学生探索思考）探讨研究，共同得出结论：（1）当2a2c时，轨迹是椭圆（2）当2a=2c时，轨迹是以F1F2为端点的线段（3）当2a2c时，无轨迹归纳定义：通过以上实验操作，尝试让学生归纳椭圆的定义，并且共同探讨完善定义中的不足之处。（有的概念由教师直接给出，如焦点、焦距等）学生在归纳定义时容易出错的细节：“平面内”、“距离之和”、“常数大于两定点间距离”通过类比有利于学生由圆的定义自然过度到椭圆的定义，从而能深刻地把握概念的本质。引导学生实验操作，把实际问题抽象成数学模型，是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要手段。通过实验操作演示，由学生自行总结椭圆的定义并完善，有助于正确概念的形成和对概念的深入理解。认真观察教师的演示实验，并在教师的提示下思考并讨论以下问题：1.圆的几何意义，椭圆上的每个点所具有的共同特征。2.通过类比圆的定义，归纳出椭圆的定义。知识探究教师引导：求曲线方程的步骤是什么？学生回答：（1）适当建立坐标系（2）设曲线上任意动点P(x，y)（3）找出动点满足的几何条件，根据条件列出方程数学知识不能简单机械地从教师迁移到学生。通过实验操作将抽象的问题具体化，有利用调动学生的学习兴趣和积极性，也就是说学生不只是模仿和接受教师的思路和结利用求动点轨迹的一般方法求出椭圆的轨迹方程。（一人板演，其余同学自行完成）可能出现的问（4）化简方程学生可能有所遗忘，教师可根据情况给予适当提示点拨提示：建系一般应遵循简洁、优化的原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，充分利用图形的对称性，使学生发现最佳的建系方法。推导标准方程：（学生讲述，教师板书）解：建立如图所示的直角坐标系得：(焦点在x轴上)设21FF=2c，P点的坐标P(x，y)，定长为2a则焦点的坐标是F1(-c，0)F2(c，0)动点P满足1PF+2PF=2a故22)(ycx+22)(ycx=2a化简为：)()(22222222caayaxca为使方程简单、对称，引入b2=a2-c2（由教师提出）从而得到椭圆的标准方程：22ax+22by=1（ab0）教师引导学生去发现a、b、c之间的几何意义。焦点在y轴上的椭圆标准方程由学生类比得出学生可能存在的问题：学生未必能自行发现a、b、c间几何意义，教师可尝试先给出结论，让学生寻找理由。论，他们要用自己现有的知识经验去同化新知识、解释新信息。学生学习数学应该是一种再创造的过程，他们用学到的知识来修正已有的观念和看法，而不是简单记住老师所教的内容。这种以学生为主体和教师引导的教学方法旨在促进学生掌握这种再创造和再发现的学习方法。学生在教师的指导下，在不断探索、想象和交流的过程中，充分感受成功和失败的情感体验。在不断的发现问题和解决问题中，加深对知识的领悟和理解。题：1．坐标系未建立。2．动点坐标设立不恰当。3．计算有错误。归纳总结（1）椭圆的定义（2）2a与2c在三种不同情况下的轨迹情况（3）椭圆的两种标准方程（4）椭圆的三个参数的大小关系、几何意义对所学知识进行即使的回顾和总结，有利于学生充分掌握知识，为应用知识奠定基础。1．通过对椭圆的标准方程的推导，讨论a2，b2，c2之间的关系。2．探索椭圆标准方程与之a2间的关系。（学生讨论完例1例1的（1）（2）两题七、教学后记：例题分析（1）已知椭圆方程是1162522yx则a=b=C=，焦点在轴上，其焦点坐标是焦距为。（2）a=4，c=3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是。（3）如果椭圆13610022yx上一点P到左焦点的距离是6则P到其右焦点的距离等于，若CD是过左焦点F1的弦，则三角形CF1F2的周长为，三角形CDF2的周长为。例2求适合下列条件的椭圆标准方程（1）a+b=10，c=4（课本练习）（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）且椭圆经过点（25,23）（课本练习）例3解答题已知B、C是两个定点，且B、C之间的长为6，三角形ABC的周长是16，求顶点A的轨迹和轨迹方程。重在检查学生对椭圆中的基本概念的掌握情况，为下节课研究椭圆的几何性质奠定基础。而（3）题则考察学生对椭圆定义的理解和简单的应用能力。例2重在检查学生对不同条件下椭圆标准方程的求解，可以培养学生灵活运用知识的能力例3重在检查学生对求曲线方程的四个步骤，在培养学生灵活运用知识的同时训练学生的思维能力。强调轨迹和轨迹方程的区别。强调此题可直接利用定义，从而避免不必要的计算过程。成）完成课堂练习，加深对知识的理解。（学生独立完成）课堂小结学生交流：（教师安排交流的项目）（1）这节课学习的主要内容是什么？（2）本节课揭示了什么数学思想？（3）求椭圆的方程注意的事项帮助学生理顺思维过程，引导学生对知识进行回顾总结，掌握好数形结合、类比的数学思想。思考并小组讨论教师所提出的问题。作业布置必做题：P96习题的2、3、4、5题选做题：推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程。作业的布置应有弹性，避免一刀切。使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。现代教育理论倡导“学生主体，教师主导”这一思想，所谓主体地位，就是学习活动是在教师必要的指导下，由学生自主探索、研究，发现问题并合作研究解决问题的过程。事实上，合作讨论不仅是教育发展的需要，同时也是社会发展的需要。每一名中学生将来都要走向社会，单靠课本上已有知识难以在竞争激烈的社会环境中获得成功，科学领域中的任何一项发现或发明都离不开人的积极探索和研究，在这个社会的课堂上需要有一定的合作学习的能力。新的《数学课程标准》也明确提出：数学教学活动，要从以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，教师应向学生提供充分的数学活动的机会，引导学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在高中数学教学中开展合作学习，发挥学生学习的主观能动性，不仅有利于学习成绩的提高，还有利于学习效率的提高，同时更有利于学生适应今后社会发展的需要。这节课是有一定难度的概念课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕着解析几何的本质“应用代数思想来研究图形的性质”这一主题展开，为了加深学生对复杂知识的理解，我采用教师引导学生合作讨论的方式授课，让学生去讨论研究圆与椭圆之间的区别，从而为得出椭圆的定义奠定基础。尤其是椭圆的标准方程与a2，b2，c2之间的关系这一关键问题，由学生合作讨论，共同得出结论，使学生对问题的理解更加深刻。培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的思维能力是设计这节课的另一出发点。教学中充分注意引导学生参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，通过不断发现问题，并解决问题，达到学习知识和训练思维的目的。