椭圆性质教案

椭圆的简单几何性质第一课时（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．01234543.93.73.22.40②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习1．在下列方程所示的曲线中，关于轴、轴都对称的是（）A．B．C．D．2．求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图①②．3．下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆①与；②与．答案：1．D2．①，，，，，，，，．②，，，，，，，，，图略．3．①②．（四）总结提炼方程图形范围，，对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称顶点，，，，离心率（五）布置作业1．椭圆的长轴的端点坐标是（）A．，B．，C．，D．，2．椭圆与的关系为（）A．有相等的长、短轴B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的准线3．中心在原点、焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A．B．C．D．4．椭圆的长轴长为______________，短轴长为_______________，焦点坐标为_______________，离心率为_______________．5．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）椭圆经过两点，；（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点；（3）离心率等于0.8，焦距是8．答案：1．D2．B3．A4．10、2，、，5．（1）（2）或（3）或（六）板书设计8.2椭圆的简单几何性质（一）（一）复习提问问题1问题2（二）椭圆的几何性质1．2．3．4．（三）例题与练习例1例2练习（四）小结教案点评：本节课设计依据“观察，归纳，猜想，证明”及“从特殊到一般”的思想方法，先由学生画图观察去发现椭圆的几何性质，接着引导学生用代数方法进行推证。本设计力求更好地符合学生的认知规律，加强知识发生过程的教学，培养学生的直觉思维能力与逻辑思维能力.