概率论与数理统计作业习题解答第一章

概率论与数理统计作业习题解答（高教第四版）第一章第一章概率的基本概念概率的基本概念习题解析习题解析第第11、、22题题随机试验随机试验、样本空间、样本空间、随机事件、随机事件-------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解解（1）高该小班有n个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，…，100，n解解01100n个人分数这和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为,,...,,则nnn样本空间为⋯（2）样本空间S={10，11，…}，S中含有可数无限多个样本点。（3）设1表示正品，0有示次品，则样本空间为S={（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）}例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。（4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为22S(x,y)x+y≤1{}-------------------------------------------------------------------------------2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生。解解此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多解解于”表示“交”和“并”的联合运算。（1）ABC。（2）ABC或AB—C。（3）A∪B∪C。（4）ABC。（5）ABC。（6）A，B，C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即ABC∪ABC∪ABC∪ABC，A，B，C中不多于一个发生，也表明A,B,C中至少有两个发生，即AB∪BC∪AC∪ABC。（7）A，B，C中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC而ABC表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=A∪B∪C。（8）A，B，C中至少有两个发生为A，B，C中仅有两个发生或都发生，即为ABC∪ABC∪ABC∪ABC也可以表示为ABBCAC。∪∪第第3.3.（（11）、）、6、6、88、、99、、1010题题概率的定义概率的定义、概率的性质、概率的性质、古典概型、古典概型第第33..（（11）、）、66、、88、、99、、1010题题概率的定义概率的定义、、概率的性质概率的性质、、古典概型古典概型-------------------------------------------------------------------------------113．（1）设A，B，C是三件，且P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=,48求A，B，C至少有一个生的概率。解解利用概率的加法公式解解315P(A∪B∪C)=P(A)+P(A)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)=−=488其中由P(AB)=P(BC)=0,而ABC⊂AB得P(ABC)=0。-------------------------------------------------------------------------------6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解解利用组合法计数基本事件数。从10人中任取3人组合数为C3，即样本空间解解10S=C3=120个基本事件。{10}（1）令事件A={最小号码为5}。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10的5个号码中取出的，有C2种取法，故A=C2=10个基本事件，所求概率为5{5}5!C22!3!101P(A)=5===C310!12012103!7!（2）令事件B={最大号码为5}，最大号码为5，其余两个号码是从1，2，3，4的4个号码22中取出的，有C种取法，即B=C个基本事件，则4{4}4!C22!2!61P(B)=4===C310!12020103!7!-------------------------------------------------------------------------------8．在1500个产品中有400个次品，1100个正品。从中任取200个。求（1）恰有90个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率。解解（1）利用组合法计数基本事件数。令事件A={恰有90个次品}，则解解C90C110P(A)=4001100C2001500（2）利用概率的性质。令事件B={至少有2个次品}，Aι={恰有i个次品}，则B=A∪A∪A,AiAi=∅(i≠j)23200所求概率为200P(B)=P(A∪A∪⋯∪,A）=∑P(A)23200ii=2显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B={恰有0个次品或恰有1个次品}，即B=A∪A，而01C200C1C199P(B)=P(A∪A)=P(A)+P(A)=1100+40011000101200200CC15001500故C200C1C199PBPB11004001100()=1−()=1−200−200CC15001500-------------------------------------------------------------------------------9．从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解解令事件A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}。用3种方法求P（A）。解解①A的对立事件A={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}，从5又鞋中任取4只，即从10只鞋中任取4只，所有可能组合数为C4，样本空间S={C4个基本事件}，现考虑有101044利于A的基本事件数。从5双鞋中任取4双，再从每双中任取一只，有C2种取法，即544A={C2个基本事件}，则5444C25×213PAPA5()=1−()=1−4=1−=C2102110②4只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为A4，即样本空间S={A41010个基本事件}。现考虑有利于A的基本事件，从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，从其余8只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A={10×8×6×4个基本事件}。于是10×8×6×410×8×6×4813P(A)=1−P(A)=1−4=1−=1−=A10×9×8×7212110③利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A的基本事件数，任取的4只鞋配成122222122222一双的取法有CCC2种，能配成两双的取法有CC种，于是A={（CCC2+CC）5245252452个基本事件}，则122222CCC2+CC13013P(A)=52452==C42102110此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质：P(A)+P(A)=1首先求P(A)，然后求P(A)。第3种方法是直接求P(A)。读者还可以用更多方法求P(A)。-------------------------------------------------------------------------------10．在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解解令事件A={排列结果为ability}，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽1解解张的连抽7张，要排成单词，因此用排列法。样本空间={A7个基本事件}。排列结果111为ability，实际收入字母b的卡片有两张，写字母i的卡片有两张，取b有C种取法，2111取i有C种取法，其余字母都只有1种取法，故A={CC个基本事件}，于是22211CC4P(A)=22==0⋅0000024A711×10×9×8×7×6×511这是个小概率事件。第第114.4.（（22）、）、1515、、1919、、1818题题条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式、概率的加法公式和乘法公式第第114.4.（（22）、）、1155、、1919、、1818题题条件概率条件概率、、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式-------------------------------------------------------------------------------11114．（2）已知P(A)=，P(BA)=,P(AB)=,求P(A∪B)。432解解利用概率加法公式和概率乘法公式。解解P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)解此题的关键是求P(B)和P(AB)。由概率乘法公式，得111P(AB)=P(A)P(BA)=×=4312又P(AB)=P(B)P(AB)，解得1P(AB)121P(B)===P(AB)162于是所求概率为1111P(A∪B)=+−=46123此题的关键是利用P(A)P(BA)=P(B)P(AB)，求出P(AB)和P(B)，再求P(A∪B)就迎刃而解了。-------------------------------------------------------------------------------15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解解令事件A={两颗骰子点数之和为7}，B={有一颗为1点}。此题是求条件概率P(BA)。解解两种方法如下：①考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6个，即样本空间S={62个基本事件}。事件AB={两颗骰子点数之间和为7，且有一颗为1点}，两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个，即A={（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）}而AB={（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得2()21PAB36()====PBAP(A)66336②已知事件A发生后，将A作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有一颗骰子出现1点，则在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为21P(BA)==63-------------------------------------------------------------------------------18．某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解利用概率性质解(有限可加性)和概率乘法公式。解解令事件Ai={第i次拨通电话}，“到第i次拨通电话”这个事件为AA⋯AA（i=1，12i−1i2，3）。事件B={不超过三次而拨通电话}，则B=A∪AA∪AAA112123该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得P(B)