第4章 交通流理论

交通工程学（第4章交通流理论）4.1概述（了解）4.2交通流的统计分布特性（理解）4.3排队论模型（理解）4.4跟驰模型（理解）4.5流体模型（熟练掌握）第4章交通流理论交通流理论是交通工程学的基本理论，是借助于物理、数学的定律与方法来阐明交通流基本特性的一种理论。4.1概述4.2.1交通流统计分布的含义4.2.2离散型分布4.2.3连续性分布4.2交通流的统计分布特性车辆的到达在某种程度上具有随机性，描述这种随机性的统计规律的方法称为交通流的统计分布。离散型分布：考察在一段固定长度的时间内到达某场所的交通数量或一定距离内分布的交通数量的波动性。信号周期内到达的车辆数。连续型分布：描述事件之间时间间隔的连续型分布为工具，研究事件发生的间隔时间或距离的统计分布特性。车头时距分布、速度分布和可穿越空档分布。4.2.1交通流统计分布的含义4.2.2离散型分布4.2.2.1泊松分布4.2.2.2二项分布4.2.2.1泊松分布（1）基本公式，k＝0，1，2，…Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；λ—单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t—每个计数间隔持续的时间（s）。若令m=λt为计数间隔t内平均到达的车辆（人）数，则，当m为已知时，可求出在计数间隔t内恰好有k辆车（人）到达的概率。tktkePk!)(!kemkmkP4.2.2.1泊松分布（续）（2）递推公式：，meP0kkmkPP11（3）适用条件：车流密度不大，车辆间相互影响较弱，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。（4）泊松分布的均值M和方差D都等于λt，而观测数据的均值m和方差S2均为无偏估计，因此，当观测数据表明S2/m显著地不等于1.0时，就是泊松分布不合适的表示。m—在某一给定时间间隔周期内到达车辆的平均数；S2—各车辆到达数与均值之差的平方和的平均数。4.2.2.1泊松分布（续）例4-1某路段每小时有120辆车通过，假设车辆到达服从泊松分布，问在指定的某一分钟内有3辆车通过的概率是多大，而一分钟内不超过3辆车的概率又是多大。（5）应用举例例4-2某信号灯交叉口的周期C=97s,有效绿灯时间g=44s,在有效绿灯时间内排队的车流以S=900（辆/h）的交通量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369（辆/h），服从泊松分布公式中，求到达车辆不致二次排队的周期数占周期总数的最大百分率。4.2.2.1泊松分布（续）例4－2解：一个周期内能通过的最大车辆数A＝gS＝900×44/3600＝11辆，当某周期到达的车辆数N≻11辆时，则最后到达的（N-11）辆车就不能在本周期内通过而发生二次排队。在泊松分布中，一个周期内平均到达的车辆数m=λt＝369×97/3600＝9.9辆。则可能到达车辆数大于11辆的周期出现的概率为29.01109.99.9110)11(1)11(ieiiiiPPP！即到达车辆不致两次排队的周期数最多占71％。4.2.2.2二项分布（1）基本公式：，k＝0，1，2，…Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；λ—单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t—每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）；n—观测次数，正整数。knntkntknkCP)1()(ntp通常记，则二项分布为：)10()1()(pppCPknkknk4.1.2.2二项分布（续）（2）递推公式：npP)1(0kppkknkPP111（3）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。（4）分布的均值M和方差D分别为M=np，D=np(1-p)，显然有MD。用观测数据计算出来的样本均值m和方差S2代替M和D，当S2/m显著大于1.0时，就是二项分布不适的表示。4.2.3连续型分布4.2.3.1负指数分布4.2.3.2移位负指数分布4.2.3.1负指数分布（1）基本公式：P(ht)——到达的车头时距h大于t秒的概率；λ——车流的平均到达率(辆/s)。tethP)(推导：由可知，在计数间隔t内没有车辆（k＝0）到达的概率，这表明，在具体的时间间隔t内，无车辆到达，则上次车到达和下次车到达之间，车头时距至少有t，即。tktkePk!)(teP0tethP)(4.2.3.1负指数分布（续）（2）负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/λ，D=1/λ2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D，既可算出负指数分布的参数λ。（3）适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。tetp)(（4）负指数分布的概率密度函数是单降的，车头时距越短，其出现的概率越大，但车头时距至少有一个车长，所以车头时距必有一个大于零的最小值τ。4.2.3.1负指数分布（续）（5）应用举例例4－3某交通流属泊松分布，已知交通量为1200辆/h，求：a)车头时距t≥5s的概率；b）在1小时内，车头时距t＞5s所出现的次数；c）车头时t5s时车头间隔的平均值。4.2.3.2移位负指数分布（1）基本公式为克服负指数分布的车头时距趋近于零其频率出现愈大这一缺点，可将负指数分布曲线从原点O沿t向右移一个最小间隔长度τ，得到移位负指数分布曲线：)(t)()(tethPτ—大于零的一个最小车头时距，一般在1.0～1.5s之间。（2）移位负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/λ+τ，D=1/λ2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D，则可算出移位负指数分布的参数λ和τ。4.2.3.2移位负指数分布（续）（3）适用条件用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。（4）移位负指数分布的局限移位负指数分布的概率密度函数曲线是随t-τ单调递降的，车头时距愈接近τ，其出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。从统计角度看，车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降的。4.3.1基本概念4.3.2基本原理4.3.3排队系统的表示4.3排队论模型（1）排队论：是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。（2）排队：单指等待服务的车辆，不包括正在被服务的车辆。（3）排队系统：既包括了等待服务的，又包括了正在被服务的车辆。（4）排队论的应用：电话自动交换机；车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的设计与管理；收费亭的延误估计。4.3.1基本概念（1）排队系统的3个组成部分输入过程：各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到达。如定长输入；泊松输入；爱尔郎输入。（到达时距符合什么样的分布）排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。如损失制；等待制；混合制。服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。如定长分布；负指数分布；爱尔朗分布。4.3.2基本原理（2）排队系统的主要数量指标队长和排队长：若排队系统中的顾客数为n，排队顾客数为q，正在被服务的顾客数位s，则n=q+s。队长是排队系统提供的服务水平的一种衡量。逗留时间和等待时间：逗留时间是指一个顾客逗留在排队系统中的总时间。等待时间是指从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。忙期和闲期：忙期是指服务台连续繁忙的时期，相对应的是闲期，这关系到服务台的工作强度。4.3.2基本原理（续）4.3.3排队系统的表示类别输入分布服务方式服务台数量符号含义M—泊松或负指数分布M—负指数分布1D—定长D—定长NEk—爱尔朗分布Ek—爱尔朗分布M/M/N——泊松输入、负指数分布服务、N个服务台M/D/1——泊松输入、定长服务、单个服务台4.4.1车辆跟驰特性分析4.4.2线形跟驰模型4.4跟驰模型（1）跟驰理论的定义：运用动力学的方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态的一种理论。（2）车辆跟驰特性分析（非自由行驶状态的车队）制约性：后车紧随前车前进。传递性：前车的运行状态制约着后车的运行状态。延迟性（滞后性）：后车运行状态的改变在前车之后。4.4.1车辆跟驰特性分析4.4.2线形跟驰模型On+1nXn+1(t)xn(t)On+1nxn(T+t)n+1xn+1(T+t))()(11txTtxnnS(t)前车减速距离d3前车减速距离d2反应距离d1车头间距L在t时刻，由于前车n的减速造成后车n+1的减速，由于车辆跟驰的延迟性，后车的减速滞后了T（驾驶员的反应时间）。在t时刻，前车和后车的位置分别为xn(t)和xn+1(t)，两车此时的距离为S(t)=xn(t)-xn+1(t)。)()(111TtxTtxTdnn后车在反应时间T内行驶的距离。表示第i辆车在时刻t的速度。)(txi4.4.2线形跟驰模型（续）其中为后车在时刻（t＋T）的加速度，称为后车的反应；为敏感度；为时刻t的刺激。所以：反应＝敏感度×刺激。)(1TtxnT1)()(1txtxnnLTtxTLdtSn)()(11假定d2＝d3，要使在时刻t两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则有：LTtxTtxtxnnn)()()(11即)()()(11TtxTtxtxnnn对t微分得：)()()(111txtxTtxnnTn或4.5.1理论概述4.5.2车流连续性方程4.5.3波动理论4.5.4交通波理论的应用举例4.5流体模型1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉提出。车流波动理论的定义：通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤——消散过程。适用条件：流体力学模拟理论假定在车流中各个单个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际不符，因此该模型运用于车辆拥挤路段较为合适。4.5.1理论概述假设车辆顺次通过断面Ⅰ和Ⅱ的时间间隔为dt，两断面的间距为dx。同时，车流在断面Ⅰ的流入量为q，密度为K。车流在断面Ⅱ的流出量为（q+△q），密度为（K-△K）。4.5.2车流连续性方程根据物质守恒定律，流入量－流出量＝△x内车辆数的变化：xKKKtqqq)()(0xqtK或取极限得：0xqtK当车流量随距离而降低时，车流密度随时间而增大。又因为q=Kv，交通流的运动方程为0)(xKvtK车流的波动：车流中两种不同密度的分界面经过一辆辆车向后部传播的现象。波速：车流波动沿道路移动的速度。前进波：沿道路前进的波，波速为正。后退波；沿道路后退的波，波速为负。集结波：波阵面过后，车流密度变大。疏散波：波阵面过后，车流密度变小。集散波：包括集结波和疏散波。4.5.3车流波动理论（1）基本概念车队从速度Vl、密度K1(对应于车间距离l1)转变到速度V2，密度K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车的变速点，A为第二辆车的变速点、虚线OA的斜率就是集散波的波速。4.5.3车流波动理论（续）XotV1V2l1l2132A一个车队中前三辆车运行的时间-空间轨迹（2）交通波的基本方程设变速点A的时刻为t，位置为x，则在时刻0到时刻t之间，两车车间距的变化为l2－l1，第一辆车行驶的距离为tV2，第二辆车行驶的距离为tV1，则l2－l1＝tV2－tV1，t＝（l2－l1）/（V2－V1）又因x=－l1+tV1，则可得波速公式：4.5.3车流波动理论（续）2121112112211221121212111)(1kkQQllvlvlllvvltltxkkkvkvvvW如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则上式叫可演化为，这个公式是微弱波的波速公式，即车流中传播小紊流的速度公式。dkdQW（2）交通波的基本方程4.