正式高一数学必修(I)复习及部分典型题目分析

集合集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系集合知识的运用映射函数元素与集合的关系属于不属于集合分类列举法描述法韦恩图法包含关系集合的运算子集真子集相等交集并集补集函数的概念函数的表示方法函数的性质列表法图象法解析法单调性奇偶性函数的零点二分法定义域值域对应法则一次函数与二次函数一次函数的性质与图象二次函数的性质与图象二次函数零点的判断函数的应用基本初等函数指数函数对数函数幂函数其他函数（反函数）概念图象性质图象变换指数方程对数方程复合函数应用单调性奇偶性例1.设全集U为R，}05|{},012|{22qxxxBpxxxA，若}2{)(BACU，}4{)(BCAU，求BA。解析：ABBACU2,2},2{)(且又BABCAU4,4},4{)(且,01020124422qp解得：p＝－7，q＝6，所以A={3，4}，B＝{2，3}，从而A∪B＝{2，3，4}点评：ABACBACUU2,2,2},2{)(从而；这主要是依据“ACaAaU”它也可以进一步推出如下性质：UACAACAUU)(,)(例2.已知集合}01|{},01|{},034|{222mxxxCaaxxxBxxxA，且CCAABA,，求a、m的值或取值范围。解析：1131},0)1)(1(|{},3,1{aaABABAaxxxBA或，所以a＝4或a＝2；又ACCCA若C＝Φ，则22,042mm；若1∈C，则12－m＋1＝0，所以m＝2，此时C＝{1}，A∩C＝C。若3∈C，则9－3m＋1＝0，所以m＝310，此时C＝31,3不是A的子集，A∩C≠C，所以m≠310。综上所述，a＝4或a＝2，－2m≤2。点评：本题涉及转化（化归）思想，如ACCCAABABA,，还涉及分类讨论的思想，如对集合C的讨论，但不要漏掉空集这一情况。例3.已知函数3)12()(2xaaxxf在区间]2,23[上的最大值为1，求实数a的值。解析：若a＝0，f（x）＝－x－3，在区间]2,23[上的最大值不为1，不符合题意。所以3)12()(2xaaxxf是一个二次函数，其图象的对称轴方程为aax221。根据二次函数的性质，f（x）的最大值应为)221(),2(),23(aafff中的一个：（1）若1)23(f，解得310a0，而此时对称轴]2,23[2023221aax，故最大值应为1)2023(f，不符合题意。（2）若1)2(f，解得43a0，且此时对称轴]2,23[31221aax，且距右端点2较远，所以1)2(f最大，符合题意。（3）若)223(211)221(aaaf，经验证可知只有)223(21a合适。综上所述，43a或2223a。点评：首先应搞清二次项系数a是否为零，如果a≠0，则f（x）的最值就受a的正负和对称轴的位置的影响，解答时必须注意，必要时应该讨论。例4.计算00032.0lg)2(lg25.132lg800lg5lg23解析：原式＝)10lg32(lg)2(lg3)45lg32(lg21)100lg8(lg5lg522165235)2(lg32lg23)2lg1(232lg)2lg1(352lg5)2(lg35lg212lg275lg22lg5lg3)52lg5()2(lg3)2lg25lg2lg5(21)22lg3(5lg222点评：关于指数函数的运算，历来都是重点考察的基本知识，变形时要根据各式的结构特征，决定采用正用、反用还是结合其它公式运用运算性质。本题中强化了lg2+lg5=1的运用，这也是要求同学们熟练掌握的知识。例5.设a0，且a≠1，若)1(log),1(log23aQaPaa，试比较P与Q的大小。解析：（1）当0a1时，由y＝ax在（－∞，+∞）上递减可知23aa，从而1123aa又当0a1时，函数xyalog在（0，+∞）上递减，所以)1(log)1(log23aaaa，即PQ（2）当a1时，由y＝ax在（－∞，+∞）上递增可知23aa，从而1123aa又当a1时，函数xyalog在（0，+∞）上递增，所以)1(log)1(log23aaaa，即PQ综上所述，PQ点评：本题利用指数函数和对数函数的单调性比较函数值的大小，要注意逐层分析的策略和分类讨论的思想方法。例6.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数400,800004000,21400)(2xxxxxR，其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；（2）当月产量为何值时，公司所获利最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解析：（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而400,100600004000,2000030021)(2xxxxxxf（2）当0≤x≤400时，25000)300(21)(2xxf；当x＝300时，25000)(maxxf；当x400时，xxf10060000)(是减函数，2500040010060000)(xf，所以当x＝300时，利润最大为25000。点评：在函数应用题中，已知的等量关系就是解题的依据，像本题的利润＝总收益－总成本，又如销售额＝销售价格×销售量等，像几何中的面积、体积等也常用来构造函数关系。另外，本题中也涉及了对分段函数问题的处理，思路是“分段函数分段解决”。例7.邻居老张购买一套没有装修的门面框架房，面积x平方米，购价1000元/米2，办理产权以及杂费1万元，装修费按8000x元计算，问：（1）一共要多少元钱？（2）装修后，将此门面出租，租金以每年200元/米2计算，五年后门面的成本价不变（即购买价），计算获取利润y与x的关系？（3）他计划赚取利润1万元，门面的面积至少多少？（4）若他事先花去的所有资金都是从银行以10％的年利率贷款而来（计复利），并计划五年后一次性归还，问他是否有利可图？说明理由。（当p较小时，可用公式pp51)1(5计算）解析：（1）一共花去)108(10001000080001000xxxx元（2）)108(1000)108(100010002005xxxxxxy（3）令y≥10000，则10036)4(10000)108(10002xxxx，所以他至少要购买面积为100米2的门面。（4）五年后一次性归还给银行的资金为)108(1500)5.01)(108(1000)1.01)(108(10005xxxxxx令)108(1000xx≥xxx1000)108(1500即450)20(,050402xxx，解得21520x，所以2600850x，即只有当2600850x时才有利可图。点评：实际问题实际分析，把问题所涉及的每一个细节分析清楚是解应用题的基本要求，另外特别注意平均增长率的问题和复利问题。【模拟试题】满分150分，时间为120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合1,2,3,4P，2,QxxxR，则PQ等于（）（A）1,2（B）3,4（C）1（D）2,1,0,1,22.函数2log12yxx的定义域为（）（A）0,2（B）0,2（C）1,2（D）1,23.设lg2a，lg3b，则5log12（）（A）21aba（B）21aba（C）21aba（D）21aba4.将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个。若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）（A）115元（B）105元（C）95元（D）85元5.函数23log23yxx的递减区间为（）（A）1,（B）3,1（C）,1（D）,36.设,xy是关于m的方程2260mama的两个实根，则2211xy的最小值为（）（A）494（B）18（C）8（D）347.已知函数x)x(f，则函数f（x）的解析式为（）（A）x)x(f（B）)x(x)x(f（C）)x(xx)x(f（D）)x(xx)x(f8.下列四个命题中正确的个数是（）（A）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上也是增函数，则在（-∞，0）∪（0，+∞）上也是增函数.（B）函数)xxlg()x(f是奇函数（C）3||22xxy的递增区间只有[1，+∞]（D）xy与)x(y表示相同函数9.函数y=333xx的零点所在的大致区间为（）（A）（–2，–1）（B）（–1，0）（C）（0，1）（D）（1，2）10.若函数y=3+12x的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（）（A）（2，5）（B）（1，3）（C）（3，1）（D）（5，2）11.函数axy与xlogya在同一坐标系中的图像可能是（）12.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，500元内部分按第②规定实施超过500元的部分给予7折优惠。某人两次购物，分别付款168元和423元。假设他只去购买一次，上述同样的商品，则应付款为（）（A）413.7元（B）513.7元（C）546.6元（D）548.7元二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13.三个数6log5.065.065.0、、的大小顺序是________________________。14.若函数234yxx的定义域为0,m，值域为25,44，则m的取值集合为。15.若函数2121yxax在区间,4上递减，则a的取值范围为。16.对于函数)x(fy，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质甲：对于)x(f)x(f,Rx都有；乙：在],(上函数单调递减；丙：在),(上函数单调递增；丁：)(f不是函数的最小值。如果其中恰有3人说法正确，请写出一个这样的函数：____________。三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（12分）已知集合3,12yAxyx，,115Bxyaxy，试问当a取何实数时，AB。18.（12分）若y,x且yx，求yx的最值。19.（12分）已知xxlog)x(fa。（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）当a1时，求使f（x）0成立的x的取值范围。20.（12分）已知关于x的方程xxaa有一根是2。（1）求实数a的值；（2）若a，求使不等式xxaa的x的取值范围。21.（12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年进行一系列的促销活动.经市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3x与1t成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。又2005年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资