求函数周期的方法

1求函数周期的方法一、定义法周期函数的定义：设函数()fx定义在数集D上,若存在常数T0,xD,且f(x+T)=f(x),则fx为周期函数，称其中最小的正常数T为最小正周期。例1：求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.例2：求函数xy2sin的最小正周期根据定义0T,因为22sinsin0xTx，即222sincos2cossin02222xTTxTT,亦即sin2sin0xTT,由此可得sin20xT或者sin0T由于sin20xT的通解为2TKx，显然它是依赖于x,因此求不出依赖于x的非零常数解，即这样的T不能作为周期。由sin0T，得最小的非零正数解为T,即它不依赖于x，所以2sinyx是周期函数，且其周期为T.性质结论：（1）若T是()yfx，x∈A的周期，则T也是()yfx的周期．（2）若T是()yfx,x∈A的周期，且()xnTAnZ，则nT也是()yfx的周期．（3）设()fx有最小正周期T，那么除(1,2,3)nTn外，函数()fX无其他周期。（4）若fx是周期函数，则fx也是周期函数，反之不正确。2（5）若fx是定义在,上的周期函数，且0fx，则1fx也是周期函数，且与fx相同的周期。（6）若fx是定义在,上的周期函数，且0fx，则1fx也是周期函数，且与fx相同的周期。（7）可导的周期函数的导函数也是周期函数。又若对于原函数存在的连续的周期函数()fx(T是其最小正周期)有，0()0Txfxd，则其原函数也是周期函数，且它们的周期相同。例：2()sinfxx，因为2(sin)sin2,xx而sin2x的周期T。（8）设x是以T为周期的周期函数，()fx是任意函数，则复合函数fx必也是以T为周期的周期函数，此时fx的最小正周期不一定就是x的最小正周期。例：2sinfxx可看成2,singx复合而成，显然2sinx的最小正周期0T，而sinx的最小正周期02T二、最小公倍数法若函数()fx与()gx都是定义在D上的周期函数，周期分别为1T与2T，且12TaT，a为有理数，则,,ffgfgg都是D上的周期函数，其周期T为1T与2T的最小公倍数。例3：4cos5sin45xxfx，因为cos4x与sin5x都是周期函数，且最小正周期分别为1T=8，2T=10，1245TT，为有理数，所以()fx也是周期函数，且最小正周期为40。3三、图像法例4：求函数1)3sin(2xy的最小正周期（2）四、公式法例5：求函数xxxxxf3coscos3sinsin)(的最小正周期（）五、单位圆法例6：求函数xxy2tan1tan2的最小正周期（）六、等周期法理论依据：若对于任意的Mx，都有),()()(xfTxfxgTxg且函数)(xfMx的最小正周期为T，则函数))((Mxxg的最小正周期也为T。例7：求函数5sin31sin2)(xxxf的最小正周期（2）