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当前位置:首页 > 临时分类 > 曾瑾言第四版课后习题第7章
第七章:粒子在电磁场中的运动P367——7.1,7.2证明在磁场B中,带电粒子的速度算符的各分量,满足下述的对易关系:zyxcqivvBˆ,2(1)xzycqivvBˆ,2(2)yxzcqivvBˆ,2(3)[证明]根据正则方程组:xxpHxvˆ,qAcqpH221ˆxxxAcqpvˆˆ1ˆ同理yyyAcqpvˆˆ1ˆzyxppppˆ,ˆ,ˆˆ是正则动量,不等于机械动量,将所得结果代入(1)的等号左方:yyxxyxAcqpAcqpvvˆˆ,ˆˆ1,2=yxyxyxyxAAcqpAcqApcqppˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222(4)正则动量与梯度算符相对应,即ipˆ,因此0ˆ,ˆyxpp又Aˆ仅与点的坐标有关0ˆ,ˆyxAAzxyxyyxBciqyAxAicqiAcqAxicqvv2222y,,,(因ABˆˆ)其余二式依轮换对称写出。P368证明在规范变换下(1)Acqppjˆˆ21(2)Acqpvˆ(机械动量的平均值)都不变(3)(证明)如课本证明,要规范变换下,若将体系的波函数作以下变换(P36820式)ciqfe(4)则薛定谔方程形式不变,将(4)代入(1)式等号右方,设变换后几率密度:ciqfciqfciqfciqfeeee又设变换后几率流密度是j,将(4)代入(2)式右方,同时又代入trfAA,ciqfciqfciqfciqfciqfciqfeetrfAcqePeepej,21(5)注意到算符的对易关系推广到三维:)(F)(F,ˆrirp(6)令ciqfer)(F则有:ciqfciqfciqfciqfefcqeipeepfcqpeepciqfciqf(7)fcqpeepciqfciqf(8)将(7)(8)代入(5)式等号右方第一项第二项,(5)式成为:jAcqppfAcqfcqpeefcqpeejciqfciqfciqfciqf2121(9)在证明第3式时,设变换后的v是v。写出右方平均值的显式,用(4)的波数变换,和)4(的矢势的变换式:defAecqdepedefAcqpedAcqpAcqpvciqfciqfciqfciqfciqfciqfˆˆˆˆˆˆ前式第一个积分可重复用(7)式,得:vdAcqpdfAcqdfcqpeevciqfciqfˆˆˆ命题得证P382——7.47.1——3.137.2——3.127.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征。(参《导论》225P)解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则0,0,,BB,0,0(1)去电磁场的标势和矢势为x,0,,0BxA(2)满足关系,AB粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyx22221(3)取守恒量完全集为zyppH,,,它们的共同本征函数可写成zpypizyexzyx,,(4)其中yP和zP为本征值,可取任意函数。zyx,,满足能量本证方程:zyxEzyxH,,,,因此x满足方程xExxqxpxCqBppuzyx22221(5)亦即,对于x来说,H和F式等价:2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu(6)其中upBCqBuCpuCqBqBquCxyy2220(7)式(6)相当于一维谐振子能量算符uCBqxxuxu,212202222再加上两项函数,因此本题能级为222022221221zyppuxuCBqnE222221221zypupBCBuCuCqBn(8)其中yP和zP为任意实数,,2,1,0n式(4)中为以x为0xx变量的一维谐振子能量本征函数,即202eHxxxnn(9)nH为厄密多项式,00xxCBqxxu。7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征函数。解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则0,0,,BB,0,0(1)去电磁场的标势和矢势为x,0,,0BxA(2)满足关系,AB粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyx22221(3)取守恒量完全集为zyppH,,,它们的共同本征函数可写成zpypizyexzyx,,(4)其中yP和zP为本征值,可取任意函数。zyx,,满足能量本证方程:zyxEzyxH,,,,因此x满足方程xExxqxpxCqBppuzyx22221(5)亦即,对于x来说,H和F式等价:2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu(6)其中upBCqBuCpuCqBqBquCxyy2220(7)式(6)相当于一维谐振子能量算符uCBqxxuxu,212202222再加上两项函数,因此本题能级为222022221221zyppuxuCBqnE222221221zypupBCBuCuCqBn(8)其中yP和zP为任意实数,,2,1,0n式(4)中为以x为0xx变量的一维谐振子能量本征函数,即202eHxxxnn(9)nH为厄密多项式,00xxCBqxxu。7.1设带电粒子相互的均匀电场E和均匀磁场B中运动,求其能谱及波函数(取磁场方向为z轴,电场方向为x轴方向)[解]为使能量本征方程能够求得,可以这样选择矢势,使0xABxAy0zA设电场E的大小是,选择标势)(rV,使场沿着x轴qdxdV,qxV哈密顿算符是:qxpxBcqxpcqBppqxpBxcqppHzyyxzyx}2ˆˆ{21})ˆ(ˆ{21ˆ22222222(1)Hˆ中不出现y和z,因此0]ˆ,ˆ[ypH0]ˆ,ˆ[zpH可以依照本章中§7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法,先求能量本征函数,由于ypˆ,zpˆ守恒,波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子:zpypizyexXzyx,,(2)代入能量本征方程式:22222222222])(2[2ExcqBxpqxycqBizyx整理,并约去同因式)(zzpyypie后,得到X(x)的本征方程)()(]})(2[212{222222222xEXxXppxqeqBpxcBqxzyy)()(]})(212[)()(22{222222222xEXxXBcpppqBcqBcpxcqBxyzyy(3)或者简写作)()(})(22{0202222xEXxXExxx式中20,qBqBqcpxcqBy,2220)(212BcpppEyzy方程式(3)明显的是一个沿x方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式,它的固有频率是,振动中心在0xx一点上,同时具有能量本征值:0EE其中0E是有关于y、z方向的分能量,按一维谐振子理论,它的能级是cqBnnEE)21()21(0(4)它的本征函数写作)]([)(0)(2120xxHeCxXnxxn(5)这个运动电荷的总能量E是:cqBnBcpppcqBnEEyzy)21()(212)21(2220(6)7.2设带电粒子在均匀磁场B及三维各向同性谐振子场22021)(rrV中运动,求能谱公式。[解]本题采用柱面座标时,可以像第4题那样,将本征函数表示成合流超几何级数,因而决定能量本征值,解法也类似。粒子座标为),,(z令0,0,21zAABA此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成:)(21),(2220zzV根据本章习题4中合算符公式(2)再添上前述附加项:)(ˆ),(ˆ}22{})28(2]111[2{)(21)2(212]11[2ˆ2122022222022222222222202222222222zHHzzcBqcBiczcqBcBiczH(1)哈氏算符的两面部分1ˆH与,有关,第二部分)(ˆ2zH与z有关,这二者是对易,因此能量本征值也分二部分,可以分别计算,也可有分离变量法将本征函数分为二部分:)(),(),,(Zcz(2)得到:ZEZzZECcBqCcBicCCCC2202221220222222222222)28(2]11[2(3)(3)式左方的哈氏算符),(ˆ1H可以和ilzˆ对易,因此),(c可以和这个算符的本征函数有共同因式可设)(),(ReCim(4)但,2,1,0m将(4)代入(3)得:RERcBqRcBmqRmRR122022222222)28(2]1[2整理后写成:0])44()2[(12222220222222122RmccBqEcmBqddRdRd(5)这个方程式和第4题的方程式(5)是相似的,其中,本题方程式(5)的212E相当于第4题(5)式的得222kE,此外(5)式多出一项R22202这是谐振紫弹性力场势能,第四题的径向方程式是:0]4)2[(122222222122
本文标题:曾瑾言第四版课后习题第7章
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