控制系统优化设计与仿真

第6章控制系统优化设计与仿真6.1控制系统参数优化的基本概念6.2单纯形法6.3控制系统参数优化设计的实例小结6.1控制系统参数优化的基本概念6.1.1两类优化问题6.1.2问题的提法及专用名词6.1.3寻优途径及优化方法的评价6.1.4控制系统优化设计中目标函数的构成6.1.5数字仿真在优化设计中的作用上一页下一页返回6.1.1两类优化问题当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给定之后，为了确定控制器的结构和参数，需要进行大量的计算。通常的工作步骤是：设计者根据对实际系统的了解，先假设控制器参数的一组初始值，通过仿真或者直接在实际系统上做试验，求出系统对典型输入的响应特性；然后设计者分析所得结果，并依据理论分析和以往的经验修改控制器参数；接着再进行仿真计算（或试验）；再分析比较，再修改参数……。当记录了若干组不同控制器参数下系统的响应特性后，从中选择出一组参数，此时系统的性能最接近于预定的要求。上一页下一页返回•当被控对象比较简单时以上做法可行。对于具有若干个输入的多回路的复杂系统，即使花费了大量的时间和精力，也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相应的参数。为了获得最佳的设计效果，出现了最优化技术。•为此，提出两类优化问题。上一页下一页返回1．函数优化问题函数优化问题也称为动态优化问题。在这类问题中，控制器的结构并不知道，需要设计出满足某种优化条件的控制器。【例6.1】如图4.1所示。假设某运动物体的初始位置、初始速度、最终位置和最终速度已知，要求该物体在最优控制作用——力f(t)作用下从最初位置到达最终位置所需的时间tf为最小。当然，这个力应该是有界的，设其约束条件为|f(t)|≤1。图6.1上一页下一页返回)(dd22tftym0)(,0)(0)0(,)0(0fftytyyyy)]([tfQtf1)(tf)(*tf上一页下一页返回系统满足的运动方程为初始条件和终止条件为tf是函数f(t)的函数，即泛函。取目标函数为要求在约束条件下，求函数，使泛函tf为最小。这个问题，所求的是一条关于f(t)的变化曲线，属于函数优化问题，可以将它转化为参数优化问题。miiitxtf1)()()(txi其它,0,1111iiiiiiiiitttttttx)(*tf**2*1,,,m令式中，是一些简单的已知函数。比如，可以取为这样，寻找一维最优函数的问题就转化为寻找m个最优参数的参数优化问题。上一页下一页返回2．参数优化问题参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中，控制器的结构、形式已经确定，而需要调整或寻找控制器的参数，使得系统性能在某种指标意义下达到最优。【例6.2】对于如图6.2所示的PID控制系统，要求寻找理想的控制器参数，使系统性能指标为最优。图6.2上一页下一页返回在该例中，被控对象数学模型G(s)已知，PID控制器的类型和形式已确定，为式中，Kp,Ti,Td,为控制器参数。在某个给定信号r(t)作用下，测量系统输入量r(t)与输出量之间y(t)的偏差e(t)。显然，e(t)是Kp,Ti,Td的函数。选择作为指标函数。式中，tf为系统调节时间。sTsTKsGdiPc1)(ftdiptteTTKQ02d)(),,(上一页下一页返回问题提法是：如何选择合适的参数值，，，使得目标函数Q为最小，即有本章讨论参数优化问题。ftdipdiptteTTKQTTKQ02***d)(min),,(min),,(*pK*iT*dT上一页下一页返回6.1.2问题的提法及专用名词1.控制系统参数优化问题的一般提法当被控对象已知，控制器的结构形式也已确定，需要调整或寻找控制器的某些参数，使系统性能在某种指标意义下达到最优。如果目标函数用Q(α)表示，需要优化的一组参数用向量α表示，则对于数学模型为（6.1）的控制系统（式中，t为时间，x为n维状态向量，F为n维系统运动方程的结构向量，为m维寻优参数构成的向量），要求在满足),(αx,FxtTm),,2,(1α上一页下一页返回不等式约束hi(α)≤0,i=1,2,…,q（6.2）等式约束gj(α)=0,j=1,2,…,p（6.3）等式终端约束Sk(α,tf)=0,k=1,2,…,l（6.4）（式中，tf为终止时间）的情况下，寻找一组参数α=α*，使目标函数满足（6.5）称α*为极小值点，对应的目标函数值Q(α*)为极小值。)(min)(*ααQQ上一页下一页返回2.优化设计专用名词（1）寻优参数α为m维寻优参数向量，也称之为设计变量（或设计参数）。（2）约束条件在优化过程中，寻优参数的某些组合情况，可能会产生一些明显不合理的设计，超出了某些允许范围。在数学上可以化为约束条件。例如，在PID控制器的设计中，三个参数应满足约束条件Kp0,Ti≥0,Td≥0在许多工程问题中，约束条件往往不能写成寻优参数的显函数形式，只要是“可计算”的函数就可以了。例如，在PID控制系统中，超调量δ%是控制器参数Kp,Ti,Td的函数，但是不一定能具体写出来。上一页下一页返回（3）目标函数在控制器的所有可行设计中，有些设计方案比另一些“要好些”。好的设计比差的设计肯定具有更好的某种（或某些）性质。如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，就可以得到“最优”的设计。这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数，为了强调它对寻优参数的依赖性，将其写成Q(α)。同样，在工程问题中，Q(α)不一定能写成显函数形式，只要求是“可计算”的函数。在前面的问题描述中，假定了使目标函数为极小的设计为最优设计，而在工程问题中有时要求使目标函数为极大的设计方案，此时只需要将目标函数变成-Q(α)即可。因为当-Q(α)达到极小时，Q(α)就达到了极大。上一页下一页返回（4）约束优化问题的无约束处理在工程问题中，寻优参数的取值范围总是要受到限制的，即要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解。若约束对于寻优参数的限制是很宽的，以至于可以确信在α*附近约束都能满足的话，则把它看成是无约束优化问题来处理。若在α*附近约束条件可能被破坏，就需要将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理。例如,取（6.6）式中，Q0(α)——不考虑约束条件时的目标函数；gi(α)=0,i=1,2,…,p是p个等式约束条件；Ci——正数权因子，表示第i个约束条件的重要性；Cigi2(α)——第i个约束条件不满足时的罚函数。)()()(120αααpiiigCQQ上一页下一页返回6.1.3寻优途径及优化方法的评价解决参数优化问题的途径分为间接寻优和直接寻优。1．间接寻优法间接寻优法是按照普通极值存在的充分必要条件来进行寻优的方法。目标函数Q(α)在α=α*处为极小的充分必要条件为（6.7）和（6.8）0,,,)(*21TmQQQαααααQ**2221222222122122122122)(αααααQmmmmmQQQQQQQQQ为正定阵。上一页下一页返回由于在控制系统的参数优化问题中，目标函数Q(α)一般很难写成解析形式，并且Q(α)的求导也不易实现，所以间接寻优法一般很少采用。2．直接寻优法直接寻优法是按照一定的寻优规律改变α，并且直接计算目标函数Q(α)的值，然后判断Q(α)是否达到极小。若是，则停止搜索；否则再改变α，并计算Q(α)，如此反复迭代直到满足要求为止。搜索过程如下:1º预置寻优参数α的初始值α0，对系统的运动方程进行仿真，得到目标函数Q(α0)；),,()0(αxFxt上一页下一页返回),,()1(itαxFx2º按照某种寻优规律或方法改变α，使α(1)=α(0)+h(0)P(0)式中，h(0)是一个实数，称为寻优步距；P(0)是一个m维向量，称为在α(0)处的寻优方向。一般地，对于第i步，其一般形式为α(i+1)=α(i)+h(i)P(i)（6.9）确定α(i+1)后，对进行仿真并计算Q(α(i+1))。3º判断是否已搜索到极小值点，是则停止迭代的搜索过程；并有α*=α(i)，否则，置α(i):=α(i+1)，重复2º，继续迭代计算。上一页下一页返回3．优化方法的评价在直接寻优法中，不同的确定h(i)和P(i)的方法，对应了不同的优化方法。评价一种优化方法的优劣，主要考虑下列因素。（1）收敛性寻优过程就是逐步搜索满足Q(α*)=minQ(α)的α值的迭代过程。迭代过程的收敛性好坏，表示某种优化方法适用范围的大小。（2）收敛速度为了求出同样精度的极小值点，不同的优化方法所需要的迭代次数不同。上一页下一页返回(3）每步迭代所需的计算量在控制系统的参数优化设计过程中，往往需要对α进行许多次迭代计算才能搜索到极小值点α*，而每次迭代都需要重新计算h(i)和P(i)，还需要对系统的运动方程进行仿真并计算目标函数。每步迭代所需的计算量也是决定寻优速度的另一重要因素。上一页下一页返回6.1.4控制系统优化设计中目标函数的构成01.01·)(21MxsssrsrDttwttwQα控制系统参数优化设计中的目标函数一般可分为两大类：加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数。1．加权性能指标型目标函数这一类目标函数是根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的，如系统在阶跃信号作用下的上升时间、调整时间、超调量以及振荡次数等。对这些性能指标的要求往往存在矛盾性，此时可以采用加权的方法建立目标函数。例如，（6.11）上一页下一页返回02wMxD时当时当%%%%%%0sssMxDsst%s式中，、为加权系数，满足表示超调量在目标函数中的成份，其具体取值为（6.12）、和分别为系统上升时间、调整时间和超调量的期望值。1w2w121ww01wrst2．误差积分型目标函数对于一般随动系统，误差e(t)定义为输入信号r(t)和系统输出c(t)之差，即e(t)=r(t)-c(t)（6.13）上一页下一页返回0d)()(tteQα02d)()(tteQαttetQd)()(0αttteQ02d)()(αttetQd)()(02α022d)()(ttetQα常用的目标函数有如下几种：•误差绝对值的积分（IAE）（6.14）•误差平方的积分（ISE）（6.15）•时间乘以误差绝对值积分（ITAE）（6.16）•时间乘以误差平方的积分（ITSE）（6.17）•时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE）（6.18）•时间平方乘以误差平方的积分（ISTSE）（6.19）上一页下一页返回上面所有的积分，只有在t→∞时，e(t)→0的情况下才是收敛的。在实际计算时，t不可能取无穷大，而是根据系统的过渡过程时间，即一个足够反映系统响应的有限值来确定。上一页下一页返回6.1.5数字仿真在优化设计中的作用上一页下一页返回一般控制系统参数优化设计中的目标函数Q(α)，很难用寻优参数α的解析形式表示，只是隐含着这些参数，所以目标函数一般只能在对系统瞬态响应进行仿真的过程中计算出来。控制系统参数优化设计一般采用直接寻优法。直接寻优法在寻优过程中需要进行两部分计算，确定寻优步距h(i)及寻优方向P(i)和对系统的瞬态响应进行仿真并计算Q(α)。整个优化设计过程就是以参数向量α作为试验点（或试验条件）进行的一系列数字仿真，获得使目标函数Q(α)为极小的最优试验点。这种试验优化方法是沿着一定的优化路径逐渐在整个规定的参数空间中寻找最优试验点。后面的试验点是在前面试验点的基础上求得的，并且是单向运算过程（即α(i+1)一旦求出后，在后续迭代计算中就不需要α(i)了）。所以，这是一种单向优化过程，后一段优化是在前一段优化基础上进行的，通常又将其称为序贯优