掌握抽象函数问题的常用处理方法

掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．二、精典例题１．函数原型法例1：给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y)②g(x+y)=g(x)g(y)③h(xy)=h(x)+h(y)④t(xy)=t(x)t(y)，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙我们知道，抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x)=kx(k0),f(x1)=kx1，f(x2)=kx2,f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)。因此，我们可得知如下结论：⑴抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数正比例函数f(x)=kx抽象而成的。⑵抽象函数f(xy)=f(x)f(y)可由一个特殊函数幂函数f(x)=xα抽象而成的。⑶抽象函数f(x+y)=f(x)f(y)可由一个特殊函数指数函数f(x)=ax(a＞0，且a1)抽象而成的。⑷抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=logax(a＞0，且a1)抽象而成的。（5）抽象函数f(x+y)=)()(1)()(yfxfyfxf可由一个特殊函数正切函数f(x)=tanx抽象而成的。根据上述分析，可知应选D。２．代数演绎法例2：设定义在R上的函数f(x)对于任意x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2，当x＞0时，f(x)＜0。⑴判断f(x)的奇偶性，并加以证明；⑵试问：当-2003≤x≤2003时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；⑶解关于x的不等式21f(bx2)-f(x)＞21f(b2x)-f(b)，其中b2≥2.解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)=－4006。⑶由原不等式，得21[f(bx2)－f(b2x)]＞f(x)－f(b)。即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)]∴f(bx2－b2x)＞2f(x－b)即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b)∴f[bx(x－b)]＞f[2f(x－b)]由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)∴(x－b)(bx－2)＜0∵b2≥2,∴b≥2或b≤－2①当b＞2时，b＞b2，不等式的解集为bxbx2|②当b＜－2时，b＜b2，不等式的解集为bxbxx2|或③当b=－2时，不等式的解集为Rxxx且,2|当b=2时，不等式解集为φ评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:（1）若函数y=f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是奇函数（2）若函数y=f(x)满足f(x)+f(y)=f(xyyx1)，则f(x)是奇函数（3）若函数y=f(x)满足f(x+y)=)()(1)()(yfxfyfxf，则f(x)是奇函数（4）若函数y=f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(x)≠0，则f(x)是偶函数。例3：已知函数y=f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x)，f(x+7)=f(7-x)Ⅰ、求证：f(4-x)=f(x)，f(14-x)=f(x)；Ⅱ、试问y=f(x)是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；Ⅲ、已知x7,2时，f(x)=x2,求当x20,16时，函数y=f(x)的表达式，并求此时f(x)的最大值和最小值。Ⅰ、证明：f(4-x)=f2)2(x=f)2(2x=f(x)f(14-x)=f7)7(x=f)7(7x=f(x)Ⅱ、解：f(x)=f2)2(x=f(4-x)=f)3(7x=f7)3(x=f(x+10)y=f(x)是周期为10的周期函数Ⅲ、当x17,16时，x-107,6f(x)=f(10-x)=（x-10）2当x20,17时,24-x7,4f(x)=f(x-10)=f)24(14x=f(24-x)=(24-x)2f(x)=20,17,)24(17,16,)10(22xxxx当x17,16时，f(x)的最小值为36，且f(x)＜49当x20,17时,f(x)的最小值为16，最大值49f(x)的最大值为49和最小值为16。评注：本题函数f(x)以抽象函数为相关背景。考查了函数的概念、周期性、最值等基础知识；深刻考查了运算能力和逻辑思维能力。本题解决的关键是充分利用f(x+2)=f(2-x)，f(x+7)=f(7-x)这一条件。事实上(1)满足f(x+a)=)(1xf(a是大于零的常数)，则f(x)是周期为2a的周期函数。（2）满足f(x+a)=f(x-a)(a0)的函数f(x)是以2|a|为周期的函数。（3）满足f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(b＞a)的函数f(x)是以2(b-a)为周期的函数。（4）f(x)是奇函数，满足f(a+x)=-f(a-x)(a0)的函数f(x)是以2a为周期的函数。（5）f(x)是偶函数，满足f(a+x)=-f(a-x)(a0)的函数f(x)是以4a为周期的函数。综上所述，由于抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。故关于有关抽象函数问题的解决，我们往往可以从上述三个方面给予考虑，总是比较奏效的。３．特殊值法例４．已知定义在R上的函数fx满足：（1）值域为1,1，且当0x时，10fx；（2）对于定义域内任意的实数,xy，均满足：1fmfnfmnfmfn试回答下列问题：（Ⅰ）试求0f的值；（Ⅱ）判断并证明函数fx的单调性；（Ⅲ）若函数fx存在反函数gx，求证：21111511312ggggnn．讲解：（Ⅰ）在1fmfnfmnfmfn中，令0,0mn，则有010fmffmfmf．即：100fmfmffmf．也即：2010ffm．由于函数fx的值域为1,1，所以，210fm，所以00f．（Ⅱ）函数fx的单调性必然涉及到fxfy，于是，由已知1fmfnfmnfmfn，我们可以联想到：是否有1fmfnfmnfmfn？（＊）这个问题实际上是：fnfn是否成立？为此，我们首先考虑函数fx的奇偶性，也即fxfx与的关系．由于00f，所以，在1fmfnfmnfmfn中，令nm，得0fmfm．所以，函数fx为奇函数．故（＊）式成立．所以，1fmfnfmnfmfn．任取12,xxR，且12xx，则210xx，故210fxx且211,1fxfx．所以，21212110fxfxfxxfxfx所以，函数fx在R上单调递减．（Ⅲ）由于函数fx在R上单调递减，所以，函数fx必存在反函数gx，由原函数与反函数的关系可知：gx也为奇函数；gx在1,1上单调递减；且当10x时，0gx．为了证明本题，需要考虑gx的关系式．在（＊）式的两端，同时用g作用，得：1fmfnmngfmfn，令,fmxfny，则,mgxngy，则上式可改写为：1xygxgygxy．不难验证：对于任意的,1,1xy，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了gx的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将2131nn写成1xyxy的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于211112111211131121111212nnnnnnnnnnnn，所以，21113112gggnnnn．所以，211151131gggnn1111112334121122111222ggggggnnggngggn点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定0f的值．三、反馈练习1．（2001年全国高考题）设fx是定义在R上的偶函数，其图像关于直线yx对称，对任意121,0,2xx都有1212fxxfxfx，且10fa．（Ⅰ）求12f及14f；（Ⅱ）证明：fx是周期函数；（Ⅲ）记122nafnn，求limlnnna．2．（2002北京高考题）已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的,abR都满足：fabafbbfa（Ⅰ）求0,1ff的值；（Ⅱ）判断fx的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若*222,nnffunNn，求数列nu的前n项的和nS．[答案与提示：1．（Ⅰ）1/21/411,24fafa；（Ⅱ）略；（Ⅲ）limln0nna．2．（Ⅰ）010ff；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）112nnS．]３．定义在R上的函数fx满足：对任意实数,mn，总有fmnfmfn，且当0x时，01fx．（1）试求0f的值；（2）判断fx的单调性并证明你的结论；（3）设22,1,,21,AxyfxfyfBxyfaxyaR，若AB，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数fx．讲解：（1）在fmnfmfn中，令1,0mn．得：110fff．因为10f，所以，01f．（2）要判断f