杜恒斌三角板在初中数学课堂教学中应用的实践与研究(三稿)

神奇三角板魅力数学园——三角板在初中数学课堂教学中应用的实践与研究衢州市衢江区大洲镇初中杜恒斌【摘要】结合教学实际和自身的实践经验，选择和开发现实的素材来增强学生的探究欲望是新课标所提倡的，三角板就是很好的素材。挖掘三角板的教学功能，让学生在操作中思考，不仅学会了知识，培养了观察和解决问题的能力，而且使每个同学都得到了成功的体验，有利于培养手脑和谐一致的实践能力、发散思维能力和探索创新能力。本文就三角板在教材、课堂教学、课题学习、编题应用等方面做了阐述。【关键词】三角板课堂教学实践研究《数学课程标准》[1]指出:有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。作为教师,要结合教学实际和自身的实践经验,积极主动地选择和开发现实的素材来增强学生的探究欲望,其中学生人手一副的三角板就是很好的素材，也是我们数学教学必不可少的工具。三角板内涵的挖掘,是对“空间与图形”和“课题学习”的重要补充.无怪乎各种教材在编写过程中或多或少都利用到三角板，各地中考命题中也频频出现以三角板为载体、设计新颖独特的几何问题。本文就三角板在初中数学课堂教学中应用的问题，谈点自己的看法。1．浙版教材中三角板辅助教学的研究1．1教材编写中三角板的使用情况册数章节环节内容七（上）7.5角的大小比较导课操作三角板，直观比较角的大小7.6余角补角作业题2互余角7.7相交线（2）垂线的定义过直线外一点画已知直线的垂线7.8平行线合作学习平行线的画法（“推平行线”）七(下)1.3三角形的高合作学习/作业题画三角形的高第一章目标与评定题5画三角形的中线和高2八(上)1.2平行线的判定合作学习平行线的画法（“推平行线”）1.4平行线之间的距离合作学习验证平行线间的距离处处相等2.2等腰三角形性质节前图直观体验“三线合一”2.5直角三角形(1)合作学习/作业题2探究三角板内角的特点拼图形求角度2.5直角三角形(2)课内练习2拼图形求距离九(上)3.4圆周角课内练习3利用三角板找圆心4.1比例线段（2）课内练习2判定三角板内外框边是否成比例九(下)1.3解直角三角形(3)作业题1用一块三角板测广场上旗杆高度1．2教材中可以适当使用三角板进行辅助教学的研究除了教材中选取的三角板几点应用之外，还有许多知识的教学中可适当借助三角板进行辅助教学，效果也很好。按章节列举如下：七（下）第1章三角形的初步知识让学生利用三角板摆放全等三角形常见的不同位置，并画下来，有利于学生在复杂的背景图形的解题中迅速观察并判定哪两个三角形全等。第2章图形和变换小组学生拼一拼、搭一搭，要求拼出轴对称图形、中心对称图形等，体验各种不同对称的不同特点，理解其内涵。八（上）第1章平行线让学生利用三角板摆放对顶角、同位角、内错角、同旁内角的造型，趣味中加深概念的理解。第2章特殊三角形用三角板拼图证明勾股定理：今有四块完全相同的直角三角板，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。请利用这四块直角三角板拼成一个图形，并利用拼成的图形证明勾股定理。条件开放让学生有更多的创造发挥余地，能拼出如下图所示：3GFEDCAB八(下)第5章平行四边形第6章特殊平行四边形与梯形用三角板拼多边形活动1：用两块完全重合的等腰直角三角板，一定能拼成下列图形的是：①平行四边形（一般平行四边形）②矩形（不包含正方形）③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形；活动2：两块含30°的三角板，能拼成不同形状的平行四边形几个？活动3：两块含30°的三角板，能拼成不同形状的四边形几个？三个拼图活动让学生直观体验一般平行四边形、矩形、正方形、等边三角形、等腰直角三角形之间的相互关系，并在思辨中对概念有更深的理解。九（上）第4章相似三角形利用三角板考查学生对三角形相似的识图和判定能力。活动4：将两块完全相同的等腰直角三角板叠合成如图样子,假设图中所有的点和线都在同一平面内,图中有相似(不包括全等)三角形吗?一一写出来,并选其中的一对加以证明。活动5：在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点P为AB的中点，小明拿着含450角的透明三角板，使450角顶点落在点P，三角板绕点P旋转，记三角板的两边与线段AC，BC分别交于点E，F，连结EF。在旋转过程中，试找出相似的三角形。（△APE∽△BFP∽△PEF）两个活动对掌握三角形相似判定方法有典型的应用价值，尤其是活动5中的△PEF的相似判定，需利用△APE∽△BFP的性质对应边成比例，学生的思维得到很好的锻炼。九（下）第1章解直角三角形利用三角板和相似的知识在这一章进行测量、计算是教材、练习、考试中常见的题型，考察学生的对这些知识条目的理解应用，如以下两例：FEPBCA4（08义乌）小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）（08长春）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径.除了利用三角板和相似的知识进行测量、计算外，拼搭的基本图形（如下图）在这一章中无处不在，让学生熟练掌握其位置、数量及边角对应（三角函数）关系，对提高解题效率，开阔解题思路，提高解题能力有极大帮助。2．三角板与课题学习2.1用三角板拼角活动6.（2005衢州）用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°，120°等。请你拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数分别是_________。（答：15n°,其中n=1，2，3…11）学生非常喜欢这活动！这一拼角活动许多教学杂志上都有叙述[2]，不再累述，但其作用却不可小视。学生参与讨论和亲身尝试，不仅掌握了用拼三角板的方法画一些特殊角的知识，更重要的是提高了自主学习、乐于研究探索问题的积极性。在实际的操作活动中，学生先是无意识但有兴趣的拼，在成功得出几个角后，有学生就不是停在操作层面，会尝试用推理的方式寻找问题的答案，考虑寻找出一般规律，是数学思维的一种升华，是理性思维的开始，之后的验证猜想更是数学思维的一次有效训练。在这样一次操作活动过程中，学生经历了抽象并建模，创PAB5造力得到了发展，从而有利于培养独立思考的品质和探索精神，有利于分析问题、解决问题的能力的真正提高，这正是我们学习数学的主要目的之一。2.2用三角板画图学生用的三角板除了特殊的角度外，还有刻度，也就有了度量的功能，除上述的一些画图功能（画三角形的高，画垂线，画平行线）外，还能够按更多的要求画图。以下是笔者与学生一起探究出来一部分很有意义的结论。2.2.1用三角板画角平分线将三角板如图1所示摆放，画射线OP,即为∠AOB的平分线。2.2.2用三角板画线段的垂直平分线如图2所示摆放，过P点画线段AB的垂线即为线段AB的垂直平分线。2.2.3用三角板画线段的黄金分割点如图3上部分，点E为线段AB的黄金分割点，画法参考浙版教材九（上）4.1比例线段（3）例5[3]，其中用圆规操作部分可由三角板的度量功能代替实现。2.2.4用三角板画3o的角(最小的整数角)如图3下部分，E是线段AB的黄金分割点，画线段BE的垂直平分线，用三角板的度量功能，在垂直平分线上截取EF=EA，连AF可以画出顶角为36°的等腰△ABF，其中∠BAF=36°。再由三角板的平分角功能，操作3次可得4.5°角；由15°角的平分得7.5°角，利用角的差就得到3°的角。略显遗憾的是理论推理上可行，实际操作几乎不太可能，但学生所得到的决不是这个3o的角怎么画，而是再一次推理能力的提升。结束语：用学生最熟悉的常用工具三角板,引导学生动手操作,让学生在实际操作的基础上观察、猜测、归纳总结和计算论证,有利于培养学生的创新意识和实践能力,这同时也是更高层次的数形结合,是该思想的探究与深化。在引导学生用三角板做数学题的过程中,我们不仅关注到学生的学习结果,更重要的是展示了学生在OBAPPBA图1图2图36做数学题的活动过程中所表现出来的情感与态度、数学水平与实践能力。用三角板做数学题,使我们的几何教学回归到实践性的本义。普普通通的一副三角板，竟隐藏着这么多数学知识，有这么多神奇作用，这就是数学的美——简洁、和谐、普遍与实用。在数学园里，处处充满神奇与魅力，只要有一双善于观察、发现的眼睛，一个乐于探究、思考、创新的头脑，就能不断体会到这种美。参考文献[1]中华人民和共教育部．数学课程标准[M]．北京:北京师范大学出版社,2001.1～2页[2]何名跃．浅议三角板对数学教学的辅助作用[J]．中国西部科技.学术．2007（6）[3]范良火．义务教育课程标准实验教科书·数学九上[M]．浙江教育出版社，2007．102页[4]黄宗月．数学课程资源的挖掘新探[J]．教学月刊（中学版），2006（7）