数值分析上机报告

数值分析上机报告姓名：学号：专业：联系电话：本次数值分析上机实习采用Matlab数学软件。Matlab是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。在数值分析应用中可以直接调用Matlab软件中已有的函数，同时用户也可以将自己编写的实用导入到Matlab函数库中方便自己调用。基于Matlab数学软件的各种实用性功能与优点，本次数值分析实习决定采用其作为分析计算工具。1．语言简洁，编程效率高因为MATLAB定义了专门用于矩阵运算的运算符，使得矩阵运算就像列出算式执行标量运算一样简单，而且这些运算符本身就能执行向量和标量的多种运算。利用这些运算符可使一般高级语言中的循环结构变成一个简单的MATLAB语句，再结合MATLAB丰富的库函数可使变得相当简短，几条语句即可代替数十行C语言或Fortran语言语句的功能。2.交互性好，使用方便在MATLAB的命令窗口中，输入一条命令，立即就能看到该命令的执行结果，体现了良好的交互性。交互方式减少了编程和调试的工作量，给使用者带来了极大的方便。因为不用像使用C语言和Fortran语言那样，首先编写源，然后对其进行编译、连接，待形成可执行文件后，方可运行得出结果。3.强大的绘图能力，便于数据可视化MATLAB不仅能绘制多种不同坐标系中的二维曲线，还能绘制三维曲面，体现了强大的绘图能力。正是这种能力为数据的图形化表示(即数据可视化)提供了有力工具，使数据的展示更加形象生动，有利于揭示数据间的内在关系在新版本中也加入了对C、FORTRAN、c++、JAVA的支持，使用时可以直接调用，也可将编写的实用程序导入到matlab函数库中方便以后使用时调用。本次编程所用的软件为MATLAB，通过这次作业，对它有了初步的认识，以及对数值分析的体会更为深刻，希望为以后的学习和工作奠定一定的基。目录1必做题一插值法...........................................................................................................41.1题目...............................................................................................................................41.2分析过程......................................................................................................................41.3计算结果......................................................................................................................51.4结果分析..............................................................................................................62必做题二雅格比法迭代与高斯－赛德尔迭代...................................................................62.1题目.......................................................................................................................62.2分析过程...............................................................................................................62.3计算结果...............................................................................................................72.4结果分析..............................................................................................................83选做题一.................................................................................................................................83.1题目三次样条插值.............................................................................................83.2分析过程...............................................................................................................83.3计算结果...............................................................................................................93.4结果分析..............................................................................................................9附录...................................................................................................................................10附录一：必做题一插值法代码.............................................................................11附录二：必做题二雅格比法迭代与高斯－赛德尔迭代代码.............................12附录三：选做题一三次样条插值代码.......................................................................14第4页1必做题一插值法1.1题目某过程涉及两变量x和y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,…,10yi=34.658840.371914.6448-14.2721-13.357024.823475.2795103.574397.484778.2392（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。（2）请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi=Columns1through71.50001.90002.30002.70003.10003.50003.9000Columns8through144.30004.70005.10005.50005.90006.30006.7000Columns15through177.10007.50007.9000yi=Columns1through742.149841.462035.118224.385211.2732-1.7813-12.3006Columns8through14-18.1566-17.9069-11.02262.028419.854940.362661.0840Columns15through1779.568893.7700102.36771.2分析过程（1）假定拟合函数的形式分别为：3221301axaxaxay432231402bxbxbxbxby54233241503cxcxcxcxcxcy6524334251604dxdxdxdxdxdxdy；利用matlab编程。第5页1.3计算结果拟合公式和拟合图如下三次多项式拟合结果：7944.1314787.943339.190326.1231xxxy四次多项式拟合结果：7450.05334.731433.423680.73818.02342xxxxy五次多项式拟合结果：5019.1397282.3045107.1635020.340789.30981.023453xxxxxy六次多项式拟合结果：6991.183750.668670.08973.161137.55408.00194.0234564xxxxxxy图1三次多项式拟合图2四次多项式拟合图3五次多项式拟合图4六次多项式拟合第6页1.4结果分析不管是从书本中的理论还是实际的拟合分析中，我们知道在多项式拟合中，拟合的次数越高，则拟合函数越逼近原函数，精确度越高，此外，多项式拟合不会出现龙格现象，数值较为稳定，故该题中的最佳拟合为六次拟合。用低次插值多项式去近似被插值函数，即所谓的分段低次插值，其既具有一致收敛性也具有数值稳定性。插值法虽然保证了在节点处函数误差为零，但不一定能反映出被插值函数所对应曲线的总趋势，为此可采用函数逼近与曲线拟合，通过反应其曲线趋势的函数来近似它。2必做题二雅格比法迭代与高斯－赛德尔迭代2.1题目用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b1或Ax=b2，研究其收敛性。上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T；b2=[100,-200,345]T。(2)A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T；b2=[5,0,-10]T。(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b1=[4,6]T。2.2分析过程雅格比矩阵迭代格式：bDxULDxkk1)(1)1()(针对4234,1,3-2-4,11-2,6321xxx，，雅格比矩阵迭代格式：216131)(3)(2)1(1kkkxxx212141)(3)(1)1(2kkkxxx14143)(2)(1)1(3kkkxxx迭代矩阵：04/14/32/104/16/13/10，，，，，，JB对应的谱半径：10.542663，故迭代收敛。第7页2.3计算结果用Jacobi法与Gauss--Seidel法迭代法解两个方程组，分析其收敛性。分析结果见表1。为表明的准确性，随后将计算证明判断收敛与否的准确性。表1.Jacobi法与Gauss--Seidel法迭代结果对比表Jacobi1b迭代次数2b迭代次数第一问-0.72731436.3636190.8081-2.07070.2525114.0404第二问-不收敛-不收敛第三问-不收敛-Gauss--Seidel1b迭代次数2b迭代次数第一问-0.7272836