数值分析第四章学习小结

非线性方程与非线性方程组的迭代解法-----------学习小结姓名张亚杰班级机械1505学号S20150232一、本章学习体会工程实际中求解各种类型的方程是经常碰到的问题，前几章所学的求解方程的方法满足不了工程需要，本章主要是关于非线性方程（组）的求解，主要思想仍然是迭代，有对分法、简单迭代法、Steffensen迭代法、Newton法等，通过不同的方法比较起收敛性和收敛速度，会根据实际的方程选择恰当的方法求解其最精确的解。二、本章知识梳理非线性方程（组）的解法对分法根据介值定理确定根的范围区间，通过迭代法求解出根的近似值。优点：算法简单对f(x)的要求不高。仅要求其在对应闭区间连续即可。缺点：不能求偶次重根，收敛速度与1/2为公比的等比级数相同，收敛速度不高。简单迭代法基本思想：迭代。根据迭代公式(1)()()kkxx，赋初值，得到序列(){}kx，在一定条件序列收敛于S，当K足够大时，可取()kx近似为方程的根。1、注意非局部收敛定理及其结论。2、序列(){}kx的收敛条件。3、迭代公式不唯一，但是不同的迭代公式收敛性不同，收敛速度也不同。Steffensen迭代法迭代公式：211()(())()kkkkkkfxxxfxfxfx。它具有至少平方收敛速度，每迭代一次需计算kx、()kkxfx两个点的函数值。此方法的优点当利用Newton法解方程()0fx的根时，如果()fx的导数不容易计算可用()fx的两点kx、()kkxfx上的差商近似代替Newton迭代公式中的'kfxNewton法基本思想：函数()fx的曲线反复用它的不同点上的切线近似代替，用这些切线和x轴的交点不断去逼近曲线和x轴的交点。迭代公式：1'()()kkkkfxxxfx，赋初值0x利用两点式求出切线方程'000()()()yfxfxxx使0y，求出1x，利用迭代公式反复做下去可求得近似值kx，产生数列(){}kx，若收敛求其极限，则数列收敛于方程的根。三、思考题经过这段时间数值分析的学习，在求解方程中及方法的选用有哪些原则？答：1、大部分方程所用的思想是迭代思想，因此要寻找一种迭代次数适中的迭代公式。2、所采取的方法要保证数值的稳定性。要对误差的增长做到很好的控制。3、所求出的解有时候很多，会从中筛选最优解。非线性方程（组）的解法割线法基本思想：用割线代替切线，用割线斜率11()()kkkkfxfxxx替代倒数'()kfx迭代公式：111()(),0,1,2,()()kkkkkkkfxxxxxkfxfx收敛性：设()0fs，在s的某领域内''()fx连续，'()0fx则存在0,当10,,xxss时，由割线法产生的序列kx收敛于s，且收敛速度至少为1.618。单点割线法在割线法中用固定点0011(,()),())kkxfxxfx代替（迭代公式：010()(),0,1,2,()()kkkkkfxxxxxkfxfx1、收敛条件。2、注意则由单点割线法产生的序列kx单调收敛于方程在,ab内唯一的根s，并且收敛速度是一阶的。四、测验题用Newton法求解方程3()31fxxx的正根。解：因为(0)10,(1)30ff，故方程在0,1区间上有一正根，此方程：3()31fxxx，'2()33fxx，()6fxx易知，在根S的某邻域内()fx连续且'()0fx，因此，在靠近S处取初始值00x，利用迭代公式31'2()21()33kkkkkkfxxxxfxx迭代结果见下表：kkx00.000010.333320.322230.322140.3221由上表可知迭代三次就得到了近似值。