数列的综合应用

1数列的综合应用专题问题1．（1）若数列2()nannR是递增数列，求实数的取值范围．（2）已知数列na的通项公式9110nnan，求n为何值时，na取最大值．（3）已知2156nnan*()nN，求数列na的最大项．（4）已知数列na中，7980nnan*()nN，求数列na的前50项中最小项和最大项．问题2．（1）在等差数列na中，公差0d，2a是1a与4a的等比中项，已知数列13aa、、1ka、2......nkkaa、、成等比数列，求数列nk的通项nk．（2）已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．问题3．大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款20000元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．（1）设夏某第n个月月底余na元，第1n个月月底余1na元，求1a并求1na与na的递推关系式；（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10﹣11，0.1212≈8.92×10﹣12）问题4．已知数列na中,,11a且点*1(,)()nnPaanN在直线01yx上．(1)求数列na的通项公式；(2)若函数,2,321)(321nNnannananannfn且求函数)(nf的最小值；(3)设nnnSab,1表示数列nb的前项和.试问:是否存在关于n的整式ng,使得ngSSSSSnn11321对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出ng的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。问题5．已知数列)12(log3nbn，记数列记nbnc3，*nN.（1）证明3222221nnccc；（2）是否存在正数k，使得)11()11)(11(21nccc≥12nk对一切*nN均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．2123456789aaaaaaaaa反馈练习：1．如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形深化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.2．（24中19）数列na满足11a，21()nnanna（12n，，），是常数．（1）当21a时，求及3a的值；（2）数列na是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．3．（26中19）将数列na中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数125,,,aaa构成一个等差数列，记为nb，且254,10bb．表中每一行正中间一个数137,,,aaa构成数列nc，其前n项和为nS．（1）求数列nb的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a．求nS．4．（29中18）数列}{na是公比大于1的等比数列，26,a326S.(1)求数列}{na的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成公差为nd的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是nA.求关于n的多项式()gn，使得()nnAgnd对任意n*N恒成立；(3)对于(2)中的数列123ndddd，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项mkpddd，，(其中正整数mkp，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.5．（41中19）已知等差数列{}na各项均为正数，其前n项和为nS，首项11a。（Ⅰ）若1322SSS，求5S；（Ⅱ）若数列{}na中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①2mpn；②2mpnSSS，求数列的通项na．3数列的综合应用专题140325问题1．（1）若数列2()nannR是递增数列，求实数的取值范围．（2）已知数列na的通项公式9110nnan，求n为何值时，na取最大值．（3）已知2156nnan*()nN，求数列na的最大项．（4）已知数列na中，7980nnan*()nN，求数列na的前50项中最小项和最大项．问题2．（1）在等差数列na中，公差0d，2a是1a与4a的等比中项，已知数列13aa、、1ka、2......nkkaa、、成等比数列，求数列nk的通项nk．（2）已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．问题3．大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款20000元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．（1）设夏某第n个月月底余na元，第1n个月月底余1na元，求1a并求1na与na的递推关系式；（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10﹣11，0.1212≈8.92×10﹣12）问题4．已知数列na中,,11a且点*1(,)()nnPaanN在直线01yx上．(1)求数列na的通项公式；(2)若函数,2,321)(321nNnannananannfn且求函数)(nf的最小值；(3)设nnnSab,1表示数列nb的前项和.试问:是否存在关于n的整式ng,使得ngSSSSSnn11321对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出ng的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。问题5．已知数列)12(log3nbn，记数列记nbnc3，*nN.（1）证明3222221nnccc；（2）是否存在正数k，使得)11()11)(11(21nccc≥12nk对一切*nN均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．45123456789aaaaaaaaa反馈练习：1．如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形深化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.n2．（24中19）数列na满足11a，21()nnanna（12n，，），是常数．（1）当21a时，求及3a的值；（2）数列na是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．3．（26中19）将数列na中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数125,,,aaa构成一个等差数列，记为nb，且254,10bb．表中每一行正中间一个数137,,,aaa构成数列nc，其前n项和为nS．（1）求数列nb的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a．求nS．4．（29中18）数列}{na是公比大于1的等比数列，26,a326S.(1)求数列}{na的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成公差为nd的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是nA.求关于n的多项式()gn，使得()nnAgnd对任意n*N恒成立；(3)对于(2)中的数列123ndddd，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项mkpddd，，(其中正整数mkp，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.解：(Ⅰ)1316(1)261aqaqq…………………………………………………………2分解得：123aq，……………………………………………………………………3分∴123nna．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）1123234311nnnndnn；21(1)4321nnnnnnnAnadn…………………………………………6分要使()nnAgnd，则2114343()11nnngnnn，…………………………………8分∴2()gnn，即存在2()gnn满足条件；………10分(3)对于(2)中的数列{}nd，若存在不同的三项mkpddd，，(其中正整数mkp，，成等差数列)成等比数列，则2kmpddd，即1112434343()111kmpkmp∵2kmp①，6∴2111()111kmp，即2kmp②………………………………………14分由①②可得mkp，与mkpddd，，是不同的三项矛盾，∴不存在不同的三项mkpddd，，(其中正整数mkp，，成等差数列)成等比数列.…16分5．（41中19）已知等差数列{}na各项均为正数，其前n项和为nS，首项11a。（Ⅰ）若1322SSS，求5S；（Ⅱ）若数列{}na中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①2mpn；②2mpnSSS，求数列的通项na．解：（Ⅰ）∵等差数列，∴312323Saaaa，又∵1322SSS，∴1313224SSSSS，∵111Sa，∴22233aa，∴22(3)0a，∴23a，则公差2d，可得525S。···························4分（Ⅱ）∵等差数列{}na，∴可设2nSAnBn，∵2mpnSSS，∴24mpmpnSSSSS，即222()()24()mpAmpBmpSSAnBn=2()2()AmpBmp，∴22()mpSSAmpBmp，两边平方得，22222224()()44()()AmBmApBpAmpABmpmpBmp，∴2224()BmpBmp，即22()Bmp=0，∵mp，∴0B，又111aS，∴A=1。当2n时，121nnnaSSn，11a适合，∴21nan。76．（45中20）已知数列na，nb满足12a，121nnnaaa，1nnba数列nb的前n项和为nS，2nnnTSS.（Ⅰ）求证：数列1nb为等差数列，并求通项nb；（Ⅱ）求证：1nnTT；（Ⅲ）求证：当2n时，271112nnS．解：（Ⅰ）由1nnba，得1nnab，代入121nnnaaa，得12(1)1(1)(1)nnnbbb，∴110nnnnbbbb，从而有1111nnbb，∵111211ba，∴1nb是首项为1，公差为1的等差数列，∴1nnb，即1nbn………