志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-241定积分的概念

-1-第四章定积分-2-§1定积分的概念-3-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解用分割、近似代替、求和逼近的思想方法求曲边梯形的面积以及变速运动物体在某段时间内的路程.2.准确理解定积分的概念及几何意义;并会根据定积分的定义,用“四步法”求一些简单函数的定积分.3.理解定积分的简单性质并会应用.-4-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1231.定义一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示:将区间[a,b]分成n份,分点为:a=x0x1x2…xn-1xn=b.第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,我们就称A是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx,即𝑏𝑎f(x)dx=A.其中叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数.-5-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做1】把区间[a,b](ab)n等分后,第i个小区间是()A.𝑖-1𝑛,𝑖𝑛B.𝑖-1𝑛(𝑏-𝑎),𝑖𝑛(𝑏-𝑎)C.𝑎+𝑖-1𝑛,𝑎+𝑖𝑛D.𝑎+𝑖-1𝑛(𝑏-𝑎),𝑎+𝑖𝑛(𝑏-𝑎)答案:D-6-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1232.几何意义当f(x)≥0时,𝑏𝑎f(x)dx表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积;当f(x)表示速度关于时间x的函数时,𝑏𝑎f(x)dx表示的是运动物体从x=a到x=b时所走过的路程.【做一做2-1】一物体沿直线运动,其速度v(t)=2t,这个物体在t=0到t=1这段时间所走的路程为()A.13B.12C.1D.2解析:所走的路程为102tdt,由定积分的几何意义作图求得102tdt=1.答案:C-7-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123【做一做2-2】说明101-𝑥2dx的意义,并根据其意义求出该定积分的值.解:101-𝑥2dx表示的是如图所示半径为1的14圆的面积,其值为π4,所以101-𝑥2dx=π4.-8-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1233.性质定积分有如下性质:性质1:𝑏𝑎1dx=b-a;性质2:𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx;性质3:𝑏𝑎[f(x)±g(x)]dx=𝑏𝑎f(x)dx±𝑏𝑎g(x)dx;性质4:(定积分对积分区间的可加性)𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx.-9-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123说明1.𝑏𝑎1dx表示的是曲线f(x)=1与直线x=a,x=b及x轴围成的矩形的面积,显然其面积为b-a,故𝑏𝑎1dx=b-a,如图(1)所示.图(1)2.性质2,3称为定积分的线性性质,性质4称为定积分对积分区间的可加性.根据性质3可将两函数和或差在区间[a,b]上的定积分转化为两函数分别在区间[a,b]上的定积分的和或差,要注意的是f(x)和g(x)在区间[a,b]上必须是连续的.3.性质2的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘积.-10-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1235.对于定积分的性质4可以用图(2)直观地表示出来,即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.图(2)-11-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.解决面积问题、路程问题及做功问题的过程有什么相似点?剖析:面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题,但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.2.用定义求定积分的一般步骤是什么?剖析:(1)分割:将区间[a,b]分成n等份;(2)近似代替:取一点ξi(或ζi),ξi∈[xi-1,xi](或ζi∈[xi-1,xi]);(3)求和:S或s;(4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0时,S和s的差也趋于0时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,A就是所求的定积分.-12-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.𝑏𝑎f(x)dx,𝑏𝑎|f(x)|dx,f𝑏𝑎(x)d𝑥的区别剖析:𝑏𝑎f(x)dx,𝑏𝑎|f(x)|dx,f𝑏𝑎(x)d𝑥的几何意义是不同的,不能等同看待.由于被积函数f(x)的值在区间[a,b]上可正可负,也就是说它的图像可以在x轴上方,也可以在x轴下方,还可以在x轴上下两侧,所以𝑏𝑎f(x)dx表示由x轴、曲线f(x)及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和;而被积函数|f(x)|是非负的,所以𝑏𝑎|f(x)|dx表示在区间[a,b]上以|f(x)|的图像为曲边的曲边梯形的面积;而f𝑏𝑎(x)d𝑥则是𝑏𝑎f(x)dx的绝对值,三者的值一般情况下是不相同的.-13-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用定积分的定义求面积【例1】求抛物线y=x2与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形的面积S.分析:本题考查用定义求定积分的方法和步骤,只要按分割、近似代替、求和、逼近的顺序操作即可.解:(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:0,1𝑛,1𝑛,2𝑛,…,𝑛-1𝑛,1.记第i个区间为𝑖-1𝑛,𝑖𝑛(i=1,2,…,n),其长度为Δx=𝑖𝑛−𝑖-1𝑛=1𝑛.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积记作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,则S=∑𝑖=1𝑛ΔSi.-14-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(2)近似代替:记f(x)=x2.当n很大,即Δx很小时,在区间i-1n,in上,可以认为f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点i-1n处的函数值fi-1n.就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间i-1n,in上,用小矩形的面积ΔSi'近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”,则有ΔSi≈ΔSi'=fi-1nΔx=i-1n2·Δx=i-1n2·1n(i=1,2,…,n).①-15-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(3)求和:由①,得Sn=∑i=1nΔSi'=∑𝑖=1𝑛𝑓i-1nΔx=∑i=1ni-1n2·1n=0·1n+1n2·1n+…+n-1n2·1n=1n3[12+22+…+(n-1)2]=1n3n(n-1)(2n-1)6=131-1n1-12n.从而得到S的近似值S≈Sn=131-1n1-12n.②-16-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(4)逼近:分别将区间[0,1]等分成8,16,20,…等份时,可以看到随着n的不断增大,即Δx越来越小时,Sn=131-1n1-12n越来越趋近于S,而当n趋向于+∞时,②式无限趋近于13,即所求面积为13.反思用分割、近似代替、求和、逼近这四个步骤可以求曲边多边形的面积,它体现了一种化整为零(分割),积零为整(逼近)的思想方法.-17-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】利用定积分的定义,计算21(3x+2)dx.解:令f(x)=3x+2.(1)分割:在区间[1,2]上等间隔地插入n-1个分点,把区间[1,2]等分成n个小区间𝑛+𝑖-1𝑛,𝑛+𝑖𝑛(i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=𝑛+𝑖𝑛−𝑛+𝑖-1𝑛=1𝑛.-18-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四(2)近似代替、求和:取ξi=𝑛+𝑖-1𝑛(i=1,2,3,…,n),则Sn=∑𝑖=1𝑛f(ξi)·Δx=∑i=1n𝑓𝑛+𝑖-1𝑛·Δx=∑𝑖=1𝑛3(n+i-1)n+2·1n=∑i=1n3(i-1)n2+5n=5+3n2[0+1+2+…+(n-1)]=32·n2-nn2+5=132−32n.(3)取极限:21(3x+2)dx=𝑙𝑖𝑚n→+∞Sn=lim𝑛→+∞132-32n=132.-19-§1定积分的概念ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二利用定积分的几何意义比较大小【例2】利用定积分的几何意义比较0-2exdx与0-2xdx的大小.分析:本题考查对定积分的