学院金融工程课件第七章互换的定价与风险分析_图

金融工程FinancialEngineering阮坚Email：[e-mail]：13560176272weibo：weibo.com/jrjl金融系阮坚2•2.瑞士法郎期货的理论价格为：投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。•4.欧洲美元期货的报价为88，60天后三个月期的LIBOR远期利率为:金融系阮坚3(0.070.02)0.16670.680.68570.7eLIBOR100%12%QfrrTtFSe互换的定价与风险分析第七章金融系阮坚4引言•互换可以分解为：–债券的组合–一系列远期协议的组合•按这一思路对互换进行定价•互换相联系的风险–信用风险–市场风险金融系阮坚5金融系阮坚61.利率互换的定价假设•忽略天数计算•以国际市场上的互换为例，浮动利率使用LIBOR•贴现率使用LIBOR零息票利率–LIBOR反映了金融机构的资金成本。这样做的隐含假设是被定价的衍生工具的现金流的风险和银行同业拆借市场的风险相同。金融系阮坚7举例考虑一个2011年9月1日生效的两年期利率互换，名义本金为1亿美元。甲银行同意支付给乙公司年利率为2.8%的利息，同时乙公司同意支付给甲银行3个月期LIBOR的利息，利息每3个月交换一次。事后可知利率互换中甲银行的现金流量，如下表所示。金融系阮坚8甲银行乙公司2.8%LIBOR表7−1利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）金融系阮坚9理解利率互换I列（4）=列（2）+列（3）•在互换生效日与到期日增减1亿美元的本金现金流–列（2）⇒列（6）–列（3）⇒列（7）金融系阮坚10互换的本质：该利率互换由列（4）的净现金流序列组成，即未来系列现金流的组合表7−1利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）金融系阮坚11理解利率互换II•头寸分解(I)–甲银行：浮动利率债券多头＋固定利率债券空头–乙公司：浮动利率债券空头＋固定利率债券多头金融系阮坚12利率互换可以分解为一个债券的多头与另一个债券的空头的组合理解利率互换III•头寸分解(II)–列（4）=行（I）＋…＋行（VIII）–除了行（I）的现金流在互换签订时就已确定，其他各行现金流都类似远期利率协议（FRA）的现金流。金融系阮坚13利率互换可以分解为一系列由固定利率交换浮动利率的FRA的组合理解利率互换的定价(I)•利率互换的定价，等价于计算债券组合的价值，也等价于计算FRA组合的价值。•由于都是列（4）现金流的不同分解，这两种定价结果必然是等价的。•注意这种等价未考虑信用风险和流动性风险的差异。金融系阮坚14理解利率互换的定价(II)与远期合约相似，利率互换的定价有两种情形1.在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值，可能为正，也可能为负。2.在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。因此协议签订时的互换定价，就是选择一个使得互换的初始价值为零的互换利率。金融系阮坚15计算利率互换价值：债券组合定价法•互换多头价值：•互换空头价值：•固定利率债券定价：•浮动利率债券定价：金融系阮坚16fixflBBV互换flfixBBV互换nitrtrfixnniiAekeB111trflekABfixBflB：互换合约中分解出的固定利率债券的价值：互换合约中分解出的浮动利率债券的价值利率互换的定价（固定利率）•定义：第i次现金流交换的时间（0为基期）。A：利率互换合约中的名义本金额。：第i次交换时LIBOR零息票利率(贴现率)：交换日支付的固定利息额。•那么，固定利率债券的价值为itirk1iinnnrtrtfixiBkeAe金融系阮坚17利率互换的定价（浮动利率）•浮动利率债券通常以面值出售•考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质，在浮动利率债券支付利息后的那一刻，浮动利率债券的价值为其本金A。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为（这是已知的），那么在利息支付那一刻，浮动利率债券的价值为。在我们的定义中，若距下一次利息支付日还有的时间，那么当前时刻浮动利率债券的价值应该为：18kflBAk1t11()rtflBAke金融系阮坚19•可以得到互换的价值fixflBBV互换111()iinnnrtrtrtiAkekeAeA+K*AA+K**t1t2A11()rtflBAke确定值t金融系阮坚t0A案例7.1I假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR，同时收取4.8%的年利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目前3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8%、5%和5.1%。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。金融系阮坚20案例7.1II在这个例子中k=120万美元，因此因此，对于该金融机构而言，此利率互换的价值为9975.825−10000=−24.175万美元对该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换的价值为正，即24.175万美元。金融系阮坚21万美元万美元10000825.99751012012012075.0051.05.005.025.0048.0flfixBeeeB练习—计算利率互换价值•假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2％（半年计一次复利）。•在这个例子中万，万，因此400$k$510k亿9824.0$1044425.1*11.075.0*105.025.0*1.0eeeBfix亿0251.1$)1.5100(25.0*1.0eBfl利率互换的价值为：98.24－102.51＝－$427万金融系阮坚22计算利率互换价值：FRA定价法•运用FRA给利率互换定价–FRA多头价值(支付固定，收入市场)–从利率期限结构中估计出FRA对应的远期利率，即可得到每笔FRA的价值，加总即为利率互换多头的价值。金融系阮坚23tTrTTrTTreAeAeKF案例7.2I假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR，同时收取4.8%的年利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。目前3个月、6个月和9个月的LIBOR（连续复利）分别为4.8%、5%和5.1%。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。首先可得3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利利率为金融系阮坚24%7714.4)4%8.41ln(4案例7.2II金融系阮坚25合理互换利率的确定•合理的互换利率就是使得利率互换价值为零的固定利率，即金融系阮坚26fixflBB案例7.3：合理互换利率的确定I假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR，同时每3个月收取固定利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美元。目前3个月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、21个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8%、5%、5.1%、5.2%、5.15%、5.3%、5.3%与5.4%。第一次支付的浮动利率即为当前3个月期利率4.8%（连续复利）。试确定此笔利率互换中合理的固定利率。金融系阮坚27案例7.3：合理互换利率的确定II令k=543美元，即固定利率水平应确定为5.43%（3个月计一次复利）。金融系阮坚28万美元1000041000044444442054.075.1053.05.1053.025.10515.01052.075.0051.05.005.025.0048.0ekekekekekekekekBfix万美元10000flB互换利率•根据案例7.3，我们可以推导出互换利率的确定公式。假设利率互换的互换周期为每半年一次，互换利率为𝑟𝑠,在契约期间共互换n次。则契约到期日可视为n/2年，固定利率债券的价值𝐵𝑓𝑖𝑥在t=0时为•而。令两者相等并整理可得金融系阮坚2912312322222100(/2)()100nnnnrrrrrfixsBreeeee100flxB22121ntnrstnrtere互换利率•利率互换协议中合理的固定利率就是使得互换价值为零的利率水平，也就是我们通常所说的互换利率。•现实中的互换利率是市场以一定的计息频率为基础、就特定期限形成的互换中间利率。以美元为例，市场通常将每半年支付固定利息对3个月LIBOR的互换中间利率作为美元互换利率。金融系阮坚30互换收益率曲线•美元LIBOR、美元互换利率与欧洲美元期货利率–国际利率互换与LIBOR的违约风险与流动性风险相当接近,多采用LIBOR作为贴现率。–当利率互换浮动端为LIBOR时，互换利率通常作为与LIBOR期限结构对应的平价到期收益率。–欧洲美元期货可用来对冲美元LIBOR利率变动的风险•互换利率与国债平价到期收益率之差被称为互换价差（SwapSpread），主要体现了银行间市场的信用风险与流动性风险。•“互换收益率曲线”（theTermStructureofSwapRateortheSwapCurve）金融系阮坚31互换收益率曲线优势•互换曲线能够提供更多到期期限的利率信息。•特定期限的互换利率具有延续性，几乎每天都有特定期限的互换利率。•互换是零成本合约，其供给是无限的，不会受到发行量的制约和影响。•对于许多银行间的金融衍生产品来说，与无风险利率相比，互换利率由于反映了其现金流的信用风险与流动性风险，是一个更好的贴现率基准。金融系阮坚32从利率互换中提取其他利率的信息I•当浮动端利率与贴现率均为LIBOR时，互换利率通常作为与LIBOR期限结构对应的平价到期收益率。•当浮动端利率与贴现率不同时，互换利率就不是平价到期收益率，而是浮动端利率即期和远期利率的加权平均数，权重取决于贴现率的期限结构。以两期为例（假定一年互换一次现金流），根据固定端现值等于浮动端现值的基本原理，我们有：金融系阮坚33122121211212112122222frrrfrrrsrfrfrsrsreeereeererererer从利率互换中提取其他利率的信息II•我国基于7天回购利率的利率互换就属于这种情形。该互换的贴现率应为银行间市场相应期限的同业拆放利率，它与7天回购利率显然不同。这样，利用上式就可以考察该互换利率、7天回购利率和银行同业拆放利率之间的关系。金融系阮坚34从互换利率与国债收益率之差中提取信息I由于美国国债不存在信用风险，流动性好，甚至还有政策便利。而互换存在着对手风险，此外互换利率还受互换市场个性风险影响。因此互换利率与国债收益率之差可以反映互换的对手风险、国债的便利收益以及互换个性风险等信息。FeldhütterandLando（2008）用卡尔曼滤波方法将上述差价分解成三个构成部分：金融系阮坚35从互换利率与国债收益率之差中提取信息II金融系阮坚36从LIBOR与隔夜拆借利率指数互换（OIS）之差中提取信息ILIBOR利率反映了政策利率的预期路径以及金融机构的信用风险和流动性风险溢酬，而OIS则反映了市场对无担保隔夜拆借利率走势（从而也是政策利率走势）的估计。因此两者相减就反映了银行间市场的信用风险和流动性风险，如下图所示。从图中可以看出，美元、英镑和欧元的3个月LIBOR与OIS之差在危机发生前都非常低，但从2007年中期开始，这些利差就随危机的进展在高位大幅波动。金融系阮坚37从LIBOR与隔夜拆借利率指数互换（OIS）之差中提取信息II金融系阮坚38金