第三讲、第四讲：坐标变换和张量

晶体物理学基础1主讲人：李飞电信学院电子系晶体物理学第一章第一章：晶体物理学基础本章内容1.1晶体的结构概述1.2宏观对称要素和点群1.3坐标变换1.4张量及其基本运算1.5初识晶体物理性质的各向异性1.6诺埃曼原理1.7张量的变换方法21.3.1为什么要进行坐标变换3有助于我们分析材料物理性能•通过坐标变换，可以掌握晶体物理性质的各向异性；•可以对材料物理性质进行几何表示，有助于问题的分析；•是有限元方法分析多晶材料性能的基础；OYZX面对角线方向Y’Z’1.3.2坐标变换4坐标变换方法O12α1’βX’YXcos'cos'XYXXcoscos'YXXA空间中某点A在新坐标轴上的坐标（投影），可以由该点在原坐标系中的坐标表示：数学解释11特殊点：该点在新坐标轴上。O12α1’βX’YXBcoscos'YXX5数学解释12.一般点：该点在新1’坐标轴上坐标仍为X’coscos'YXX该点在原坐标系中1轴和2轴的坐标分别为X和Y：coscos'coscos'lXYlXXO12α1’βX’YXCl数学解释2O12α1’βX’YX1.3.2坐标变换6坐标变换方法：推广到三维情况OYZXa11X’a12a13cosZcoscos'YXXZaYaXaX131211'ZaYaXaY232221'ZaYaXaZ333231'ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211'''jijjjijiZaZaZ'Y’Z’矩阵形式张量形式1.3.2坐标变换7坐标变换方法：推广到三维情况ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211'''jijjjijiZaZaZ'矩阵形式张量形式1.3.2坐标变换逆变换形式：'''332313322212312111ZYXaaaaaaaaaZYX''jjijjjiiZaZaZ张量形式8正交条件（orthogonalityconditions）111233232231223222221213212211aaaaaaaaa000132312221121231322122111323122211211aaaaaaaaaaaaaaaaaaijkjkijkikaaaa1.3.2坐标变换9正交条件（orthogonalityconditions）•如何证明？ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211''''''333231232221131211ZYXaaaaaaaaaZYXTZYXaaaaaaaaaaaaaaaaaaZYX3332312322211312113323133222123121111000100011.3.2坐标变换第一章：晶体物理学基础本章内容1.1晶体的结构概述1.2宏观对称要素和点群1.3坐标变换1.4张量及其基本运算1.5初识晶体物理性质的各向异性1.6诺埃曼原理1.7张量的变换方法101.4.1张量及其用途11描述晶体物理性质321333231232221131211321EEEDDDij张量形式（Tensor）介电性质、压电性质、热点效应、光电效应……1.4.2张量的运算12张量的运算•张量的外积pqrijkpqrijkCST•张量的内积一个t阶张量与一个s阶张量的外积为一个（t+s）阶张量pqklijpqijklCSTT阶张量与s阶张量有n个相同的下标，则二者乘积为一个（t+s-2n）介张量。ijijijklijijklklbabac13张量的运算•张量的微分相比于矩阵乘法，张量在进行内积时，两个张量可以调换位置！•张量的内积与矩阵乘积一个m阶张量的微分是一个（m+1）阶张量)]([jpqrjxTxjkikijikkjkjikijabdababbaccba1.4.2张量的运算14张量的坐标变换ija为关联新旧坐标系的方向余弦一阶张量，即矢量。321333231232221131211'3'2'1DDDaaaaaaaaaDDDjijiDaD'1.4.2张量的运算15张量的坐标变换证明：二阶张量，如介电常数、应变张量。'''jijiED''jjlkliklklikkikiEaaEaDaDkljlikjlklikijaaaa'1.4.2张量的运算kljlikjlklikijaaaa'16张量的坐标变换ija为关联新旧坐标系的方向余弦三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。1.4.2张量的运算pqrkrjqipijkdaaad'pqrtltkrjqipijkldaaaas'pqrslskrjqipijklTaaaaT'1.4.3张量的分类17张量的分类•极张量（Polartensors）•轴张量（Axialtensors）极张量：与坐标系的手性无关；轴张量：与坐标系的手性有关；1.4.3张量的分类18张量的分类OYZXOYZXP100010001POYZX坐标变换A坐标变换AOYZX极张量：轴张量：坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！1.4.3张量的分类19张量的分类OYZXOYZXP100010001-POYZX坐标变换B坐标变换BOYZX极张量：轴张量：坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！1.4.3张量的分类20张量的分类轴张量的坐标变换方法：pqrslskrjqipijklTaaaaaT'•坐标变换矩阵的模值为1或-1，正负与坐标系的手性是否发生变化有关；•对于第一类对称操作，坐标变换矩阵模为1；•对于第二类对称操作，即镜面和中心反演，矩阵模为-1。