扩展Dicke模型的量子相变

3扩展Dicke模型的热力学极限性质...........................................13.1正常相......................................................................................23.2超辐射相...................................................................................43.3相变讨论...................................................................................83.4系统量子纠缠和量子关联.....................................................133扩展Dicke模型的热力学极限性质早在1954年Dicke『23]提出了N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射。把N个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态。由于原子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以忽略，但是可以形成相干自发辐射波。他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-radiance)。超辐射态是指原子集体激发的密度与N2成比例，而不是N，原子是相干辐射的。这样，由N个两能级原子和单模玻色场相互作用的系统叫做Dicke模型。这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量子点中的超辐射行为『641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为[66]，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用。Dicke模型中原子看成是由N个相同但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的上下能级差为V。Dicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并且每个原子的上下能级差为V。其中，第i个原子可以描述成一个自旋12的算符;,ikskz，遵从对易关系,2zzssssss；，。我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率为的单模玻色场发生作用，耦合强度为，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成1††10111()()NNNiiiiizzziiivHsaaaassssNN（3-1）这里1h，†,aa是波色产生和湮灭算符，v为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合。原子-波色场相互作用项出现的1N因为是因为偶极子耦合强度最初与1V成比例，V是强场体积。强场里原子密度NV,因此耦合强度正比于N，带入相互作用项我们得到1N因子。利用原子算符的集体算符形式，11;NNiizziiJsJs,这些算符遵从一般的角动量对易关系,2zzJJJJJJ；，。希尔伯特空间可以按照Dicke态,;,1,,1,jmmjjjjL展开，Dicke态是2J和zJ的本征态：2,,,,(1),zJjmmjmJjmjjjm。上升和下降算符作用在这些态上得到：,(1)(1),1Jjmjjmmjm。j是Dicke态的“共同量子数”，当N确定后，j取值为12,32,,2NL，我们选择j的最大值2N。N个两能级原子系统可以看成是一个1N能级的系统，总的赝自选矢量长度2jN。利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为††20()()zzvHJaaaaJJJNN（3-2）热力学极限下，原子个数无穷N，也就是说角动量j，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度0()2cv会发生量子相变。为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个有效哈密顿量12()HH，一个1H描述正常相c的系统，另一个2H描述对称性破缺的超辐射相c。首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示††††2,2,zJbjbbJjbbbJbbj，并且玻色算符满足对易关系†,1bb。将上述变化带入哈密顿量（3-2），可以得到两类玻色子的哈密顿量†††††††202()()(11)()22jbbbbvHbbjaaaabbbbjNjjN（3-3）3.1正常相通过对哈密顿量（3-3）中含j的项做简单的近似处理：因为†02bbj，所以令†112bbj。我们得到系统正常相的有效的哈密顿量1H2††††10022()()(){}jjjHaavbbaabbvjNNN（3-4）为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角化，引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符：†1()2xaa†()2xpiaa†01()22()ybbjvN0†2()2yjvNpibb令02jvN，用上面的位置动量算符去表示正常相的哈密顿量（3-4）：22222221012[4]{}2xyjjHxpypxyvjNN（3-5）用下面的方法变化位置算符，即将xy平面旋转一个角度到另一个平面上，可以将上面的哈密顿量对角化：1121cossinxqq，1121sincosyqq，（3-6）这里旋转角度1满足条件：12224tan(2)jN对于共振态，14，这时12()2xqq和12()2yqq。这样的变化消除了哈密顿量中xy的相互作用项，得到两种退耦合谐振子的形式2(1)222(1)2221112201[]{}2jHqpqpvjN（3-7）现在引进两个新的玻色算符去量子化哈密顿量1H†111(1)1()2qcc(1)†111()2picc†222(1)1()2qcc(1)†222()2picc（3-8）故对角形式的哈密顿量为2(1)?(1)?(1)(1)1112201(){}2jHccccvjN（3-9）这里使得哈密顿量1H对角化的玻色算符††1122{,,,}cccc是玻色算符††{,,,}aabb的线性组合。至此，我们就得到了正常相的两支独立震荡模式的能量表：(1)222222212()162jN（3-10）如果激发态能量(1)是实数，那么必须满足条件2222222()16jN，等价于2c。因此可以看到哈密顿量1H仅在c有效，即正常相。在正常相，系统的基态能量是：2102GjjEvNNN（3-11）这里忽略了高阶项()j，而上面的激发态能量(1)是忽略了(1)，也就是说在基态上面的激发态谱在j是准连续的。3.2超辐射相为了描述超辐射相，考虑到场与原子系综都有宏观占据数，采用Holstein-Primakoff变换去转换哈密顿量（3-3），假设两类玻色子算符做如下变化††††,acNbdN严格来说，我们做上面的变换，其实就意味着平移参量和是()j，也就是说在c时，他们满足非零宏观场。将上面的平移算符带入H-P变换的式子中，可以得到†††2,,()zJkdNJkdNJddNddNj（3-12）其中根式为††()1ddNddk，并且22kjN。在热力学极限下将根式按照1j幂级数绽开至1N，则†††2?2†2()1()1()228ddNddkddNNddddkkk将式子（3-12）代入哈密顿量（3-3），这样我们得到了含有††()()ccdd或者的双线性项的哈密顿量†2?20†22?022?222?†22222021[2()]2(2)()41[()2()]()2[(2)]()22()()()21{()4()}22NkHccvddkNkNccjNNNvddkNkkNvddkNkNNccddkNkvNjNNNjN（3-13）现在用平移算符,将2H波色算符的线性项消除掉，所以2202041()2()02kNjNNNvk（3-14）平庸解0是满足正常相哈密顿量1H的解，这里对超辐射相有意义的解是220211(1)2uv（3-15）这里24u，而且令2224(1)(1)u:。利用这些参量，获得了有效哈密顿量2H††2222?222?†22222201(1)2[]()2(1)21()()()2111{()41()}22HccdduvddccddNv:（3-16）为了促进这个双线性哈密顿量的对角化，我们引进如下定义的位置-动量算符：†1()2Xcc†()2XPicc†1()2Ydd:†()2YPidd:（3-17）这样超辐射相的有效哈密顿量2H变为：22224222222222201[(4)28(12)]11{()41()}22XYHXPuuvYPXYNv:（3-18）虽然（3-17）式的位置-动量算符表达式与（3-6）定义的有所不同，但是这里的对角化过程与之前正常相的过程是类似的，也就是将XY平面旋转一个角度到另一个平面上，使得上面的有效哈密顿量2H对角化1222cossinXQQ，1222sincosYQQ（3-19）这里旋转角度2满足条件：221242116()2tan(2)(4)uuv2H为2(2)222(2)22211222222201[]211{()41()}22HQPQPNv:（3-20）现在为了量子化哈密顿量2H，引进两个新的玻色算符：†111(2)1()2Qee(2)†111()2Piee†222(2)1()2Qee(2)†222()2Piee（3-21）故对角形式的哈密顿量为2222††211222222201(..)211{()41()}22HeeeeccNv:（3-22）这里使得哈密顿量2H对角化的玻色算符††1122{,,,}eeee是玻色算符††{,,,}aabb的线性组合。至此，我们就得到了超辐射相的两支独立震荡模式的能量表(2)：2(2)222022222400264uvuuvuvuvuuvuvuv（3-23）如果激发态能量(2)是实数，那么必须满足条件22222222400064uvuvuuvuuvuvuvuv（3-24）化简（3-24）可以得到00()()()0uvuvuv（3-25）现在讨论超辐射相下的临界值，所以我们得到了如下的图象210120.00.51.01.52.0图3.1通过上面的图象3.1，我们可以知道当0()2v为我们的超辐射相。对于超辐