数值分析实验指导书

数值分析课程实验指导书山西农业大学文理学院数学系目录前言………………………………………………………………………………1第一部分数值实验报告格式……………………………………………………1第二部分数值实验报告范例……………………………………………………2第三部分数值实验………………………………………………………………6数值实验一……………………………………………………………6数值实验二……………………………………………………………8数值实验三……………………………………………………………10数值实验四……………………………………………………………12数值实验五……………………………………………………………13数值实验六……………………………………………………………16数值实验七……………………………………………………………17数值实验八……………………………………………………………17数值分析实验指导书前言该实验指导书是《数值分析》课程的配套数值实验教材。《数值分析》是信息与计算科学专业的必修课程，学习本课程的最终目的，是用计算机解决科学和工程实际中的数值计算问题，因此熟练地在计算机上实现算法是必备的基本技能。数值实验是数值分析课程中不可缺少的部分，利用计算机进行数值实验，以消化巩固所学的内容，增加对算法的可靠性、收敛性、稳定性及效率的感性认识，体会和重视算法在计算机上实验时可能出现的问题。学生通过选择算法、编写程序、分析数值结果、写数值实验报告等环节的综合训练，逐步掌握数值实验的方法和技巧，获得各方面的数值计算经验，培养学生运用所学算法解决实际问题和进行理论分析的能力。该实验指导书由侯建文、崔克俭、郝新生、王福贵、王琳娟等老师编写。第一部分数值实验报告格式一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值实验以实验报告形式完成，实验报告格式如下：一、实验名称实验者可根据报告形式需要适当写出。二、实验目的及要求首先要求做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出。三、算法描述（实验原理与基础理论）数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出。数值分析实验指导书四、实验内容实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备。五、程序流程图画出程序实现过程的流程图，以便更好的对程序执行的过程有清楚的认识，在程序调试过程中更容易发现问题。六、实验结果实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果，复杂的结果可以用表格形式列出，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。七、实验结果分析（对算法的理解与分析，包括改进与建议）实验结果分析是数值实验的重要环节，只有对实验结果认真分析，才能对实验目的、实验方法进一步理解，对实验的重要性充分认识，明确数值分析的实用范围及其优缺点。第二部分数值实验报告范例为了更好地做好数值实验并写出规范的数值实验报告，下面给出一简单范例供读者参考。数值实验报告一、实验名称误差传播与算法稳定性二、实验目的1．理解数值计算稳定性的概念。2．了解数值计算方法的必要性。3．体会数值计算的收敛性与收敛速度。三、实验内容数值分析实验指导书计算dxxxInn1010，1,2,,10n四、算法描述由dxxxInn1010，知dxxxInn101110则ndxxdxxxxIInnnnn11010101011011可得递推关系1．nI1101nIn，10,,2,1n2．)1(1011nnInI，1,,9,10n下面分别以1，2递推关系求解方案1nI1101nIn，10,,2,1n当0n时，dxxI100101㏑1011㏑1.1,递推公式为1.1ln10,,2,1,10101InInInn（1）方案2)1(1011nnInI，1,,9,10n当10x时，nnnxxxx10110111则dxxdxxxdxxnnn10110111101010即数值分析实验指导书)1(101)1(111nInn取递推初值)110(22021])110(101)110(111[2110I递推公式为)110(220211,,9,10),1(101101InInInn（2）取递推公式（1）中的初值095310.01.1ln0I，得095310.010,,2,1,10101InInInn取递推公式（2）中的初值008678.010I，得008678.01,,9,10),1(101101InInInn五、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。六、实验结果计算结果如下：n)1(~nI)2(*nI012340.0953100.0469000.0310000.0233330.0166670.0953100.0468980.0310180.0231530.018465数值分析实验指导书56789100.033333-0.1666671.8095240.0153530.0131380.0114810.0101880.0092320.008678七、实验结果分析由递推公式（1）知当1.1ln0I时，nI应当为精确解，递推公式的每一步都没有误差的取舍，但计算结果033333.0~5I＞016667.04~I，6~I出现负值。由此看出，当n较大时，用递推公式（1）中的nI~近似nI是不正确的。主要原因是初值095310.0~0I不是精确值，设有误差)~(0Ie，由递推公式（1）知)~(10)~(1nnIeIe则有)~()10()~(100)~(10)~(021IeIeIeIennnn误差)~(nIe随n的增大而迅速增加，增加到)~(0Ie的n)10(倍。由此可见，递推公式计算的误差不仅取决于初值的误差，公式的精确性，还依赖于误差的传递即递推计算的稳定性。由递推公式（2）知008678.010I，nI为估计值，并不精确，有12101)(10Ie，而由)(101)(**1nnIeIe得)()101()(**0nnIeIe误差)(*0Ie随递推公式逐步缩小。综上所述，在递推计算中，数值计算方法是非常重要的，误差估计、误差传播及递推计算的稳定性都会直接影响递推结果。数值分析实验指导书第三部分数值实验本部分列出了七个数值实验类型，每个数值实验都应在计算机上实现或演示，由实验者独立编程实现。要求：（1）用MATLAB语言或其他算法语言编程，使之尽量具有通用性。（2）上机前充分准备，复习有关算法，画出程序流程图。（3）完成实验后写出实验报告。（4）编程语言的种类、运行环境及程序清单以附录形式给出。以下分别列出八个数值实验的内容。实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数)(xfy的n+1个节点值(),0,1,,jjyfxjn。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。数据如下：（1）jx0.40.550.650.800.951.05jy0.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多项式5L()x，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f,(0.99)f的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f,(0.99)1.05423f）（2）jx1234567jy0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001数值分析实验指导书试构造Lagrange多项式6L()x，计算的(1.8)f,(6.15)f值。（提示：结果为(1.8)0.164762f,(6.15)0.001266f）二、要求1、利用Lagrange插值公式00,()nninkkiikkixxLxyxx编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。Newton插值多项式如下：10010,()()[,,]()knnjkkjjkNxfxfxxxx其中：00,0()()[,,]kikiijjjikfxxxfxx三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果.实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出数值分析实验指导书从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。t(分)05101520253035404550554(10)y01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为23123()tatatat；3、打印出拟合函数()t，并打印出()jt与()jyt的误差，1,2,,12j；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、*绘制出曲线拟合图。三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验三数值积分与数值微分一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算（1）1/420I=4-sin(1.5343916)xdxI数值分析实验指导书（2）10sinI=((0)1,0.9460831)xdxfIx（3）120I=4xedxx（4）120ln(1)I=1xdxx二、要求1、编制数值积分算法的程序；2、分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；3、分别取不同步长()/hban，试比较计算结果（如n=10,20等）；4、给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。三、目的和意义1、深刻认识数值积分法的意义；2、明确数值积分精度与步长的关系；3、根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．实验四线性方程组的直接解法一、问题提出给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。1、设线性方程组数值分析实验指导书123456789104231210000865365010042213210310215131194426167332386857172635021342530116101191734212246271392012400183248631xxxxxxxxxx5123234613381921