数值计算基础实验指导书孙谦

[e-mail]123456数值计算基础实验指导书2012年目录实验一直接法解线性方程组的................................1实验二插值方法...........................................10实验三数值积分............................................4实验四常微分方程的数值解..................................6实验五迭代法解线性方程组与非线性方程......................81实验一直接法解线性方程组一、实验目的掌握列选主元消去法与追赶法解线性方程组。二、实验内容分别写出Guass列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。1、用Guass列选主元消去法求解方程组5.58.37.33.47.11.85.16.93.51.53.25.2321xxx2、用追赶法求解方程组000010210000210000210000210000254321xxxxx三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理1、Guass列选主元消去法对于AX=B1）、消元过程：将（A|B）进行变换为)~|~(BA，其中A~是上三角矩阵。即：nnnnnnnnnnnnbababaabaaabaaabaaa0010122111221222221111211k从1到n-1a、列选主元选取第k列中绝对值最大元素iknikamax作为主元。b、换行ikijkjbbnkjaa,,1,2c、归一化kkkkkjkkkjbabnkjaaa/,,1,/d、消元nkibbabnkjnkiaaaaikikiijkjikij,,1,,,1;,,1,2）、回代过程：由)~|~(BA解出11,,,xxxnn。1,2,,1,/1nkxxabxabknkjjkjknnnn2、追赶法线性方程组为：nnnnnnnnnfffffxxxxxabcabcabcabca1321132111133322211做LU分解为：1111,12133221nnnRL分解公式：)1,,2,1(),,3,2(,),,3,2(111nicnibbniaiiiiiiiii则yUxfLyfLUxfAx3回代公式：),,3,2(1111niyfyfyiiiii)1,,2,1(1nnixyxyxiiiinn五、实验步骤1、理解并掌握列选主元消去法与追赶法；2、画出列选主元消去法与追赶法的流程图3、使用VC语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。八、思考题若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。4实验二插值方法一、实验目的掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。二、实验内容分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。已知下列函数表xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.82495求x=0.5635时的函数值。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理已知n个插值节点的函数值，则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值。拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：1、Lagrange插值公式)()(...)()()(01100xlyyxlyxlyxlxLnkkknnnnkjjjkjnkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl011101110)())(())(()())(())(()(2、Newton插值公式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN五、实验步骤1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过。六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。52、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项Newton插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商。八、思考题比较Lagrange插值法与Newton插值法的异同。6实验三数值积分一、实验目的掌握复化梯形法与龙贝格法计算定积分。二、实验内容分别写出变步长梯形法与Romberge法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。求00001.0,sin10dxxx。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理通过变步长梯形法与龙贝格法，我们只要知道已知n个求积节点的函数值，则可由相应的公式求出该函数的积分值，从而不需要求该函数的原函数。变步长梯形法与龙贝格法公式如下：1、变步长梯形法11101)]()(2)([2)]()([2niiniiinbfxfafhxfxfhT102/12)(221niinnxfhTT用nnTT2来控制精度2、龙贝格法梯形法则二阶公式四阶公式六阶公式八阶公式)0(0T)1(0T)0(1T)2(0T)1(1T)0(2T)3(0T)2(1T)1(2T)0(3T)4(0T)3(1T)2(2T)1(3T)0(4T7)(2hO)(4hO)(6hO)(8hO)(10hO14)1()(4)1(11mmmmmkTkTkT用)1()0(1mmTT来控制精度五、实验步骤1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图3、使用VC语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项在10sindxxx积分中，被积函数在x=0点函数值为1，对该点在程序设计中应注意对其的定义。八、思考题使用复化梯形法与复化Simpson法来计算该问题有何缺点？8实验四常微分方程的数值解一、实验目的掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。二、实验内容分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。求)50(2)0(2xyxyy步长h=0.25。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理常微分方程的数值解主要采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前推进，在单步法中改进欧拉法和四阶龙格-库塔法公式如下：1、改进欧拉法),(1nnnnyxhfyy)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy2、四阶龙格-库塔法),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn五、实验步骤1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的公式；2、画出改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的流程图3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求91、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项)50(2)0(2xyxyy的精确解为)1/(22xy，通过调整步长，观察结果的精度的变化八、思考题如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。10实验五迭代法解线性方程组与非线性方程一、实验目的掌握高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组与牛顿迭代法求方程根。二、实验内容分别写出高斯-塞德尔迭代法与牛顿迭代法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一个方程的求根，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。1、高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组017413231511222315921274321xxxx2、用牛顿迭代法求方程013xx的近似根，00001.0，牛顿法的初始值为1。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理二分法通过将含根区间逐步二分，从而将根的区间缩小到容许误差范围。牛顿通过迭代的方法逐步趋进于精确解，该两种方法的公式如下：1、高斯-塞德尔迭代法1）判断线性方程组是否主对角占优niaaiinijjij,,2,1,12）直接分离xi，即niaxbdxiinjjijii,,2,1,/)(1建立高斯-塞德尔迭代格式为：niaxaxadxiinijkjijijkjijiki,,2,1,/)(1)(11)1()1(3）取初值迭代求解至所要求的精度为止。2、牛顿法)()(1kkkkxfxfxx11五、实验步骤1、理解并掌握二分法与牛顿法的公式；2、画出二分法与牛顿法的流程图3、使用VC编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项对于二分法应注意二分后如何判断根的区间，对于牛顿法注意如何确定迭代过程的结束八、思考题若使用牛顿法是发散的，如何对牛顿法进行改进以保证其收敛性。