数学分析教案(华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续

《数学分析》教案-1-第十六章多元函数的极限与连续教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。教学时数：16学时§1平面点集与多元函数一.平面点集:平面点集的表示:满足的条件}.余集.1.常见平面点集:⑴全平面和半平面:,,,等.⑵矩形域:,}.⑶圆域:开圆,闭圆,圆环.圆的个部分.极坐标表示,特别是和.⑷角域:.⑸简单域:型域和型域.2.邻域:圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域,空心方邻域与集《数学分析》教案-2-的区别.二.点集拓扑的基本概念:1.内点、外点和界点：集合的全体内点集表示为,边界表示为.集合的内点,外点,界点不定.例1确定集的内点、外点集和边界.例2为Dirichlet函数.确定集的内点、外点和界点集.2.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:孤立点必为界点.例3.确定集的聚点集.解的聚点集.3.(以包含不包含边界分为)开集和闭集:时称为开集,的聚点集时称为闭集.存在非开非闭集.和空集为既开又闭集.4.(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集:6.点集的直径：两点的距离.7.三角不等式：《数学分析》教案-3-（或）.三.点列的极限:设,.定义的定义(用邻域语言).例4,,.例5设为点集的一个聚点.则存在中的点列,使.四.中的完备性定理:1.Cauchy收敛准则:先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列.2.闭集套定理:P116.3.聚点原理:列紧性,Weierstrass聚点原理.4.有限复盖定理:五.二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例6求定义域：ⅰ;ⅱ.《数学分析》教案-4-3.二元函数求值:例7,求.例8,求.4.三种特殊函数:⑴变量对称函数:,例8中的函数变量对称.⑵变量分离型函数:.例如,等.但函数不是变量分离型函数.⑶具有奇、偶性的函数：§2二元函数的极限一.全面极限与相对极限:全面极限亦称为二重极限.1.全面极限的定义:亦可记为.由的定义引入.例1用“”定义验证极限.P94例1.例2用“”定义验证极限.《数学分析》教案-5-例3证明.(用极坐标变换)P94例2.2.相对极限及方向极限:相对极限和方向极限的定义.3.全面极限与相对极限的关系:Th1,对D的每一个子集E,只要点是E的聚点,就有.推论1设,是的聚点.若极限不存在,则极限也不存在.推论2设,是和的聚点.若存在极限,,但,则极限不存在.推论3极限存在,对D内任一点列,但,数列收敛.通常为证明极限不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等全面极限存在(以下例5).《数学分析》教案-6-例4证明极限不存在.(考虑沿直线的方向极限).全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例5求下列极限:ⅰ;ⅱ;ⅲ;ⅳ.4．极限的定义:其他类型的非正常极限，无穷远点的情况.例6验证.二.累次极限:1.累次极限的定义:定义.例7,求在点的两个累次极限.P97例6.例8,求在点的两个累次极限.例9,求在点的两个累次极限.《数学分析》教案-7-2.全面极限与累次极限的关系:⑴两个累次极限存在时,可以不相等.(例9)⑵两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在.例如函数在点的情况.⑶全面极限存在时,两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在,但两个累次极限均不存在.⑷两个累次极限存在(甚至相等)全面极限存在.(参阅例7).综上,全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th2若全面极限和累次极限(或另一次序)都存在,则必相等.(证)P98.推论1全面极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等.系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2两个累次极限存在但不相等时,全面极限不存在.但两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.§3二元函数的连续性一．二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:《数学分析》教案-8-定义用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数有定义的孤立点必为连续点.例1证明函数在点沿方向连续.函数的增量:全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续:定义(单元连续)二元连续与单元连续的关系:参阅]P101图16—9.3.连续函数的性质:运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:二元初等函数,二元初等函数的连续性.三.一致连续性:定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性.(证)《数学分析》教案-9-2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)